第四章 因式分解——分组分解与十字相乘 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

因式分解——分组分解与十字相乘 知识点一 分组分解法 一般地，分组分解可为三步： i．将原式的项适当的进行分组； ii．对每一组进行一“提”二“代”处理； iii．将经过处理的每一组当作一个整体，再采用一“提”二“代”进行分解． 1. 先阅读下列材料，再分解因式： 阅读：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得到．这时，由于与又有公因式，于是可提出公因式，从而得到．因此有 ． 也可以将中的一、三项并为一组，二、四项并为一组进行分解，如 ， 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 知识运用：请用分组分解法分解因式： （1）； （2）； （3）． 2. 先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． （1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如：，分组分解法： 解：原式 解：原式 （2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 如： 解：原式请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 3. 把下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二 十字相乘法 适用于二次三项式或类二次三项式（某几项可看作一个整理），利用，可将因式分解，则结果为． 一个小口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，得到结果． 4. 【阅读理解】如何将形式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；．例如：，． 上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： （1）． （2）． 5. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 6. 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； ； ； ． 7. 分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）． 课上练习 1. 整式与的公因式是　　 A． B． C． D． 2. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 3. 分解因式： （1）； （2）． 4. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 5. 因式分解： （1）； （2）． 6. 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）； （2）； （3） （4）． 7. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 8. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 9. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 10. 分解因式： （1）； （2）； （3）． 11. 分解因式： （1）； （2）． 12. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3）． 13. 将下列各式分解因式： （1）； （2）． 14. 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式： 甲： （分成两组） （平方差公式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） （再用平方差公式） 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： （1）； （2）． 15. 请看下面的问题：把分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家苏菲姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲姬曼的做法，将下列各式因式分解． （1）； （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 因式分解——分组分解与十字相乘 知识点一 分组分解法 一般地，分组分解可为三步： i．将原式的项适当的进行分组； ii．对每一组进行一“提”二“代”处理； iii．将经过处理的每一组当作一个整体，再采用一“提”二“代”进行分解． 1. 先阅读下列材料，再分解因式： 阅读：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得到．这时，由于与又有公因式，于是可提出公因式，从而得到．因此有 ． 也可以将中的一、三项并为一组，二、四项并为一组进行分解，如 ， 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 知识运用：请用分组分解法分解因式： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先分组得到，然后利用提公因式法