第四章 因式分解——因式分解的概念及基本解法 讲义 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

因式分解的概念及基本解法 知识点一 因式分解的定义 1．定义：把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 积 的 形 式 ， 这 种 变 形 叫 做因式分解（factorization）．因式分解也可称为分解因式 2．因式分解结果的要求： ①不能含有中括号 ②最后的因式的不能再次分解 ③每个因式第一项系数一般不为负数 1. 下列从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 2. 下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二 提公因式法 多项式 ab + bc 的各项都含有相同的因式 b．我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（common factor）．如 b 就是多项式ab + bc 各项的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3. 多项式，与的公因式为　　 A． B． C． D． 4. 如果是多项式的一个因式，那么的值为　　 A．8 B． C．2 D． 5. 说出下列多项式中各项的公因式： （1）； （2）； （3），均为大于1的整数）． 6. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 7. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 8. 把下列各式进行因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点三 公式法 平方差公式 完全平方公式： 拓展公式： 立方差公式： 立方和公式： 9. 分解因式：． 10. 因式分解：． 11. 分解因式 （1）； （2）． 12. 因式分解（单项式与多项式） （1）； （2）； （3）； （4）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 因式分解的概念及基本解法 知识点一 因式分解的定义 1．定义：把 一 个 多 项 式 化 成 几 个 整 式 的 积 的 形 式 ， 这 种 变 形 叫 做因式分解（factorization）．因式分解也可称为分解因式 2．因式分解结果的要求： ①不能含有中括号 ②最后的因式的不能再次分解 ③每个因式第一项系数一般不为负数 1. 下列从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用因式分解的定义判断即可．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 【解答】解：、，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 、，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 、，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意； 、，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：． 2. 下列从左到右的变形，哪些是因式分解，哪些不是因式分解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】直接利用因式分解的定义分别分析得出答案． 【解答】解：（1），从左到右是整式乘法运算，不是因式分解； （2），从左到右是因式分解； （3），从左到右变形，不符合因式分解的定义； （4），从左到右是因式分解． 知识点二 提公因式法 多项式 ab + bc 的各项都含有相同的因式 b．我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式（common factor）．如 b 就是多项式ab + bc 各项的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3. 多项式，与的公因式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【解答】解：因为，，， 所以多项式，与的公因式为． 故选：． 4. 如果是多项式的一个因式，那么的值为　　 A．8 B． C．2 D． 【分析】设另一个因式是，根据多项式乘以多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可． 【解答】解：设另一个因式是， 则 ， 是多项式的一个因式， ， 解得：， ， 故选：． 5. 说出下列多项式中各项的公因式： （1）； （2）； （3），均为大于1的整数）． 【分析】根据公因式的确定方法可得答案． 【解答】解：（1）的公因式为：； （2）的公因式为：； （3）的公因式为：． 6. 把下列各式因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【分析】（1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，进而分解因式即可； （3）直接提取公因式，进而分解因式即可； （4）直接提取公因式，进而分解因式即可； （5）直接提取公因式，进而分解因式即可． 【解答】解：（1）； （2）