第七章 7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章　§7.3　离散型随机变量的数字特征 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的 方差. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 知识点一　离散型随机变量的方差、标准差 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝ 为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)， 并称为 随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X). (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－ E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 知识点二　离散型随机变量方差的性质 1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ . 2.D(c)＝0(其中c为常数). a2D(X) 1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　) 2.若a是常数，则D(a)＝0.(　　) 3.离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. (　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ √ × 2 题型探究 PART TWO 一、求离散型随机变量的方差 例1　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差； 解　ξ的分布列为 解　由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2. 又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值. 反思感悟 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X). (2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ). 跟踪训练1　已知随机变量ξ的分布列如下表： (2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η). 二、方差的应用 例2　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125. E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125. D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50. D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165. 由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)， 故两种材料的抗拉强度的均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好. 反思感悟 均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 跟踪训练2　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且候鸟的种类和数量也大致相同，两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. 解