专题11.3余弦定理、正弦定理的应用（五个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第二册）

专题11.3余弦定理、正弦定理的应用 知识点1实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 知识点2解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 重难点1测量距离问题 【例1】某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（    ） A．60米 B．130米 C．150米 D．300米 【例2】根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动，距离风暴中心以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1km处不能收到手机信号，检查员抽查某区一考点，在考点正西km有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，如果以每小时12km的速度沿公路行驶，则最长需要 分钟检查员开始收不到信号. 【变式1-2】马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则两座岛之间的距离为 百海里. 【变式1-3】小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 类型 图形 方法 两点间不可通或不可视 先测角,再用余弦定理求 两点间可视,但有一点不可达 以点不可达为例,先测角,再用正弦定理求 两点都不可达 测得 在中用正弦定理求;在中用正弦定理求BC; 在中用余弦定理求 重难点2测量高度问题 【例3】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（    ）（）.    A．346 B．373 C．446 D．473 【例4】抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度 米． 【变式2-1】（多选）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离 B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和 C．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离 D．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达处，再次测量旗杆顶端的仰角 【变式2-2】圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为