4.4 课时3 平面与平面垂直的性质 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.4 平面与平面的位置关系 1 课时3 平面与平面垂直的性质 2 1.掌握空间中面面垂直的性质定理.（逻辑推理、直观想象） 2.能够运用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.（逻辑推理、直观想象） 3.理解面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系.（逻辑推理、直观想象） 学习目标 3 1.如果 ，那么 内的直线必垂直于 内的无数条直线，这句话正确吗？ [答案] 正确. 2.黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ [答案] 能.容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直. 自主预习 4 3.垂直于同一个平面的两个平面平行吗？ [答案] 不一定.可能平行也可能相交. 4.两个平面垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一个平面吗？ [答案] 不一定.只有在其中一个平面内垂直于两平面的交线的直线才垂直于另一个平面. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若平面 平面 ，则平面 内所有直线都垂直于平面 .( ) × （2）若平面 平面 ，则平面 内一定存在直线平行于平面 .( ) √ （3）若平面 不垂直于平面 ，则平面 内一定不存在直线垂直于平面 .( ) √ 自主预习 6 2.已知平面 平面 ，直线 平面 ，则与 的位置关系是( ) . D A. B. C. D. 或 [解析] 如图， 或 .故选D. 自主预习 7 3.平面 平面 ，， ，，直线 ，则直线与 的位置关 系是______. 平行 [解析] 因为 ，， ，，所以 . 又 ，所以 . 自主预习 8 探究1 平面与平面垂直的性质 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直. 问题1： 在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗？ [答案] 不一定，也可能平行、相交（不垂直）. 合作探究 9 问题2： 怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ [答案] 只要保证所画的线与两面的交线垂直即可. 问题3： 如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线（除交线外）与另一个平面有什么位置关系呢？如果该直线和它们的交线垂直，那么这条直线和另一个平面垂直吗？ [答案] 平行或相交；如果该直线和交线垂直，那么这条直线和另一个平面垂直. 合作探究 10 新知生成 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，若____________有一条直线垂直于这两个平面的 ______，则这条直线与另一个平面______ 符号语言 一个平面内 交线 垂直 合作探究 11 图形语言 作用 ①面面垂直 ______垂直； ②作面的垂线 线面 续表 合作探究 12 新知运用 一、面面垂直性质的应用 例1 如图所示，是四边形所在平面外的一点，四边形 是 的菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于 底面 . （1）若为的中点，求证： 平面 . （2）求证： . 方法指导（1）要证明 平面，只需证明 ，然后利用面面垂直的性质 得出结论；（2）要证，只需证明 平面 即可. 合作探究 13 [解析] （1）如图，连接， ， 四边形是菱形且 ， 是正三角形. 为的中点， . 又平面 平面，且平面 平面 ， 平面 ， （2）由（1）可知，为正三角形，为的中点， . 又， 平面， . 平面 . 合作探究 14 &1& 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用 面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理. 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平 面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于两个平面的交线. 合作探究 15 如图，在三棱锥中， 平面，平面 平面 . 求证： . 合作探究 16 [解析] 如图，在平面内，作于点 . 平面 平面，且平面 平面， 平面 ， 平面 . 又 平面， . 平面， 平面 ， . 又， 平面 . 又 平面， . 合作探究 17 二、与面面垂直有关的计算 例2 如图所示，平面 平面 ，在 与 的交线 上取线段 ，,分别在平面 ,平面 内，， ， ，，求线段 的长. 方法指导 要求的长，由， 易知为直角三角形，已知 的长， 只要知道的长即可.由知 为直角三角形，从而可解. 合作探究 18 [解析] ，， , . ，， ， , . 又 ， . 在中， . 合作探究 19 &2& 与面面垂直有关的计算问题解决方法：所给条件中的面面垂直首先转化