4.4 课时2 平面与平面垂直的判定 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.4 平面与平面的位置关系 1 课时2 平面与平面垂直的判定 2 #b# 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小.（逻 辑推理、直观想象） #b# 2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系. （逻辑推理、直观想象） #b# 3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.（逻辑推理、直观想象） 学习目标 3 1.二面角是怎样定义的？如何表示二面角？ [答案] 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.可用二面角的平面角表示. 2.面面垂直是怎样定义的？ [答案] 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 3.面面垂直的判定定理的内容是什么？ [答案] 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( ) √ （2）组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直.( ) √ （3）若平面 内的一条直线垂直于平面 内的任意一条直线，则 .( ) √ （4）若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面.( ) √ 自主预习 5 2.在长方体的六个面中，与平面 垂直的面有( ) . C A.1个 B.3个 C.4个 D.5个 [解析] 与平面垂直的平面有平面，平面，平面 ，平面 ，共4个. 自主预习 6 3.在正方体中，二面角 的平面角的大小是____. [解析] 平面，， ， 为二面角的平面角.易知 . 自主预习 7 探究1 二面角的概念 随手打开一本书，发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度. 合作探究 8 问题1： 根据上述问题，你发现两平面形成的角有何特点？ [答案] 可以是锐角、钝角、直角、平角. 问题2： 两平面所成角 的范围是什么？ [答案] . 问题3： 二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ [答案] 无关.如图，根据等角定理可知， ，即二 面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小 有关. 合作探究 9 新知生成 1.二面角的定义：从一条直线出发的____________所组成的图形. 2.相关概念：①这条直线叫作二面角的____；②两个半平面叫作二面角的____. 3.二面角的画法： 两个半平面 棱 面 平卧式 直立式 合作探究 10 4.二面角的记法：二面角_________或___________或__________或 . 5.二面角的平面角：若___，___ ，___ ，___，___ ，则二面角 的平面角是_______. 合作探究 11 特别提醒:（1）二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大 小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想；（2）二面角 的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角 的取值 范围是 . 合作探究 12 新知运用 例1 如图，已知三棱锥 的各棱长均为2，求二面角 的余弦值. 方法指导 先根据二面角的定义找出二面角的平面角，然后解三角形，求二面角的余弦值. 合作探究 13 [解析] 如图，取的中点，连接，，则 ， . 由二面角的定义可知为二面角 的平面角. 设是 的重心， 则 平面，且点在 上. 在中，，，则 ， 即二面角的余弦值为 . 合作探究 14 &1& 求二面角的大小关键是作出平面角，求二面角大小的步骤：（1）找 出这个平面角；（2）证明这个角是二面角的平面角；（3）作出这个角所在的三角形， 解这个三角形，求出角的大小. 合作探究 15 如图， 平面，，，求平面 与 平面 所成二面角的大小. [解析] 因为 平面， 平面 ， 所以 . 又因为， ， 所以 平面 . 因为 平面，所以 ， 所以为平面与平面 所成二面角的平面角. 在中，因为，所以 . 合作探究 16 探究2 平面与平面垂直的判定 建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证 墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定 一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙， 如图，这样就能保证墙面与地面垂直. 问题1： 由上述可知,当直线与平面垂直时， 过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？ [答案] 垂直. 问题2： 若要判断两个平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？ [答