第五章《分式与分式方程》相关知识总结讲义 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

分式和分式方程相关知识总结 1、 分式的概念和性质 在初中数学中,分式是一个重要的概念,涉及到分式的基本性质、运算、化简等内容。 1. 分式的定义 分式的定义为:如果 A、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,那么式子就叫做分式,其中 A 称为分子,B 称为分母。 分式是不同于整式的一类代数式,分式的值随分式中字母取值的变化而变化。 分式具有以下特点: (1)分式的分母中必须含有字母。 (2)分式是有理式的一种。 例1.下列各式中 ①+m2 ②1+x+y2- ③ ④ 分式有 ,整式有 . 2、分式有意义的条件:在分式的定义中,主要考查分式在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义。 例2.当 时,分式有意义. 3、分式的值为0的条件:讨论分式的值为零需要同时考虑两点:(1)分子为零;(2)分母不为零。即当A=0且B≠0时,分式的值为0. 例3已知分式的值是零,那么x的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D. 4、分式的变形 例4.下列各式与相等的是( ) (A)(B)(C)(D) 二、分式的运算和化简求值 1、分式的化简 分式的约分与通分是进行分式化简的基础,特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面 例5.化简: 2、分式的求值 例6、已知与互为相反数,求代数式 的值。 三、分式方程 1、 分式方程的解法 例7、解方程: (1); (2). 2、 分式方程解的相关情况 (1) 、分式方程有增根 例8、当为何值时,方程会产生增根. (2)、分式方程无解 例9、当为何值时,方程无解. (3)已知分式方程解的情况,求参数的范围 例10、已知关于的方程的解为正数,求的取值范围. 四、分式方程的应用 例11. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 1、 强化训练 一、选择题 1.关于x的方程无解,则m的值为( ) A.﹣5 B.﹣8 C.﹣2 D.5 2.在代数式,,xy+x2,中分式有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列各式中,分式的个数是( ) . A.2 B.3 C.4 D.5 4.下列约分正确的是( ) A.=a3 B.=0 C.=x+1 D.=a+b 5.下列分式中,最简分式是( ) A. B. C. D. 6.已知关于x的分式方程=1的解是负数,则m的取值范围是( ) A.m≤3 B.m≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2 7.若关于x的方程+1=的解为负数,且关于x的不等式组无解.则所有满足条件的整数a的值之积是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.关于x的分式方程=1的解为负数,则a的取值范围是( ) A.a>1 B.a<1 C.a<1且a≠﹣2 D.a>1且a≠2 9.若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且使关于y的方程=2的解为非负数,则符合条件的所有整数a的和为( ) A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2 10.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是( ) A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18 11.关于x的方程﹣1=的解为正数,则k的取值范围是( ) A.k>﹣4 B.k<4 C.k>﹣4且k≠4 D.k<4且k≠﹣4 12.某公司为增加员工收入,提高效益.今年提出如下目标,和去年相比,在产品的出厂价增加10%的前提下,将产品成本降低20%,使产品的利润率(利润率= 100%)较去年翻一番,则今年该公司产品的利润率为( ) A.40% B.80% C.120% D.160% 二.填空题 13.甲、乙两同学同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,在山脚和山顶之间不断往返运动,已知山坡长为360m,甲、乙上山的速度比是6:4,并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍,当甲第三次到达山顶时,则此时乙所在的位置是距离山脚下 m. 14.若关于x的方程=+1无解,则a的值是 . 15.若关于x的方程+=无解,则m的值为 . 16.已知关于x的方程=3的解是正数,则m的取值范围是 . 17.若关于x的分式方程=2a无解,则a的值为 . 18.若关于x的分式方程+=3的解为正实数,则实数m的取值范围是 . 19.若关于x的分式方程+3=无解,则实数m= . 20.黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑,小林与小雨两名同学为参加比赛,在学校运动场400米环形跑道上进行训练,两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步,已知每隔12分钟小林追上小雨一次,小林每圈花费的时间比小雨少10秒,则小林跑步的速度为每秒