2024年中考数学最值和路径 专题练习--胡不归模型

胡不归模型 一、模型介绍 (一)基本模型 已知： 点A 为直线l上一定点， 点B为直线l外一定点， 点P为直线l上一动点, 求kPA+PB(0<k<1) 的最小值. 以点A为顶点, 在点B 异侧作∠CAP,使sin∠CAP=k, 过点 B 作 BH⊥AC于点 H. 结论: kPA+PB的最小值为线段 BH的长. (二) 结论推导 结论: kPA+PB的最小值为线段 BH的长. 证明: 过点P作 PG⊥AC于点 G. 则 PG=PA·sin∠CAP=kPA, ∴kPA+PB=PG+PB≥BH, ∴kPA+PB的最小值为线段 BH的长. (三) 满分策略 遇到胡不归模型时，哪条线段带有系数，就以它为斜边构造直角三角形，使夹角的正弦值等于系数，利用三角函数将折线段转化为垂线段，利用垂线段最短将最小值转化为垂线段的长度. 若k>1，应先提取系数k，再构造. 二、典型例题 例1 如图,∠MON=30°,点A为射线OM上一点, OA=4, 点 P为射线ON上一动点,连接AP, 则AP 的最小值为 . 考点分析：锐角三角函数、垂线段最短. 思路点拨: 在 ON下方作射线OB, 使∠BON=30°, 分别过点P,A作 OB的垂线,垂足为G,H, 利用垂线段最短将折线段 转化为垂线段AH的长. 例2如图,在△ABC中, AB=AC=4,∠CAB=30°, AD⊥BC,垂足为D, P 为线段AD上的一动点,连接PB、PC, 则 PA+2PB的最小值为 . 考点分析：等腰三角形的性质、锐角三角函数、垂线段最短. 思路点拨: 在 AC上方作射线AE, 使∠EAC=15°,分别过点P, B作 AE 的垂线,垂足为G, H, 提取系数2，利用垂线段最短将折线段 PA+2PB转化为垂线段BH长的两倍. 例3 如图, 在平面直角坐标系中,点A(-2,0)、B(4, 0)、C(-5, 9), 点P 为线段 BC 上一动点,连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PC以每秒 个单位的速度运动到点C 后停止，当点P 的坐标是 .时，点 M在整个运动过程中用时 最少. 考点分析：平面直角坐标系、等腰直角三角形的性质、垂线段最短. 思路点拨:作 CD∥x轴,BC∥y轴, 直线CD与BC相交于点C, 分别过点P, A 作 CD的垂线, 垂足为G,H. 先由点的坐标说明△BCD 是等腰直角三角形，再将总时间用含系数的折线段表示，利用垂线段最短将最小值转化为线段AH的长度，即A，P，H三点共线时，点 M在整个运动过程中用时最少，此时AP=AB，即可得到点P的坐标. 三、提分必练 (一) 基础 1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,点P 是线段AD 上的动点,当 的值最小时，∠PBD的度数为 . 2. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=2, 点D是 BC边上的动点, 则2AD+DC的最小值为 . (二) 提升 1. 如图, 在△ABC中, 于点 D, 点 P 为线段 BD 上的动点，则 的最小值为 2. 如图，菱形ABCD的边长为5，对角线BD 的长为 点P为BD 上一动点，则 的最小值为 . 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于B，C两点，点A，C的坐标分别为(2，0)、(0, -2), 且∠OCB=60°,点P为直线l上一动点, 连接AP,则 的最小值为 . 4. 如图, 在 Rt△ABC中, . ，点D是BC的中点，点E是AC边上一动点，连接DE, 将线段DE绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF, 连接BF, CF, 求 的最小值. 5.如图, 抛物线 与x轴交于 A(3, 0), B(-1, 0)两点, 与y轴交于点 C(0, 3), 其顶点为点D, 连接AC. (1) 求抛物线的解析式和顶点 D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A，C，E，F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标； (3)在(2)的条件下，将点 D 向下平移5个单位得到点 M，点 P 为抛物线的对称轴上一动点，求 的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$