2024年中考数学最值和路径 专题练习--逆等线模型

逆等线模型 一、模型介绍 (一) 基本模型 已知: 在△ABC中, D,E分别是AB, AC上的动点,且AD=CE, 求BE+CD的最小值. 将△ADC拼接到△CEF, 连接BF. 结论: BE+CD 的最小值为线段BF的长. (二) 结论推导 结论：BE+CD的最小值为线段BF的长. 证明: ∵将△ADC拼接到△CEF, ∴△ADC≌△CEF, ∴CD=EF, ∴BE+CD=BE+EF≥BF ∴BE+CD的最小值为线段BF的长. (三) 满分策略 遇到两条首尾不相连的相等线段，要求另外两条线段和的最小值，可以在等线段处构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，使条件集中，为了便于计算，应该使拼接后的角为特殊角. 如果线段和带系数，则需要在其中一条线段处构造相似，将系数化为相似比，通过三角形相似、勾股定理以及两点之间线段最短求出带系数的线段和最小值. 二、典型例题 例1 如图, 正方形 ABCD的边长为4, 点E, F分别是边BC, CD 上的动点, 且BE=CF, 连接BF, DE,则 BF+DE的最小值为 . 考点分析：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨: 将△CDE 拼接到△DGF,则△CDE≌△DGF, DG=CD, DE=GF, 所以, BF+DE=BF+GF≥BG，用勾股定理求出线段BG的长，即为BF+DE的最小值. 例2 如图,在△ABC中, AB=AC=4,∠BAC=120°, 点D, E分别是边AB,BC上的动点,且AD=BE,连接AE, CD, 当AE+CD 的值最小时, ∠AEB 的度数为 ( ). A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 考点分析：等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和. 思路点拨: 将△ADC拼接到△BEF,则△ADC≌△BEF, CD=EF,所以, AE+CD=AE+EF≥AF,当A, G, F三点共线时, AE+CD的值最小,此时△ABF 是等腰三角形, AB=BF,∠ABF=150°,可得∠AEB=135°. 例3 如图,在矩形ABCD中, AB=5, AD=6, 点E, F分别为边BC, CD 上的动点, 且BE=2DF, 连接AF, DE, 则2AF+DE的最小值为 . 考点分析：矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨: 延长AB到点G,使BG=2AD,证△BGE∽△DAF,可得GE=2AF,则2AF+DE=GE+DE=DG，用勾股定理求出线段DG的长，即为2AF+DE的最小值. 三、提分必练 (一) 基础 1. 如图, 在边长为2的正方形 ABCD 中,点E, F分别是对角线AC和边AD上的动点,且AF=CE,连接BE, CF, 则BE+CF的最小值为 . 2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°, BC=2, 点D为BC边上一动点, 将线段BD绕点 B 逆时针旋转90°到BE, 连接AD, CE, 则AD+CE的最小值为 . 3.如图, 在△ABC中, ,点 M, N分别是边 BC, AC上的动点,且AN=CM, 连接AM, BN, 当AM+BN的值最小时, CM的长为 . 4. 如图, 在 Rt△ABC中,∠A=90°, AB=3, AC=4, 点D, E分别是边AC, AB 上的动点, 且AD=BE,连接BD, CE, 则BD+CE的最小值为 . (二) 提升 1. 如图,矩形ABCD 中,AB=2,∠ABD=60°, 点E, F分别是对角线BD 和边 CD 上的动点, 且BE=DF, 连接AE, AF, 则AE+AF的最小值是 . 2. 如图, 在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°, AC=2,点D为AB的中点, 点E, F分别为边 AC,BC上的动点, 且AE=CF, 连接DE, AF, 则 DE+AF的最小值为 . 3. 如图, 在等边△ABC中,点D为BC边上一动点,点E为 内一点，满足 且 连接BE, CE, 点F为AB边上一点, AF=BE, 当( 的值最小时， 的度数为 . 4.如图,在△ABC中,∠BAC=50°, AB=AC, BD⊥AC于点D,点M,N分别是线段BD, BC上的动点,且BM=CN,当AM+AN的值最小时, ∠AMD 的度数为 . 5. 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=30°, 点 D, E 分别是线段AB和 BA 延长线上的动点,且BD=AE, 连接CD, CE, 当CD+CE的值最小时, 的值为 . 6.