2024年中考数学最值和路径 专题练习--两点之间线段最短模型

两点之间线段最短模型 一、模型介绍 (一)基本模型 已知： 从A 地到C 地有四条道路， 其中 AC 是线段， 哪条路最近? 结论： AC最近，即两点之间的所有连线中， 线段最短，这一基本事实简述为： 两点之间线段最短. (二) 结论推导 两点之间线段最短是基本事实，不需要证明. (三) 满分策略 先找到两个定点，再连接这两个定点得一条线段，则这条线段最短. 二、典型例题 例1 如图,在菱形ABCD 中, AB=2, ∠ABC=60°, 点F是BC的中点, 点 M是对角线BD上的一个动点，则MA+MF的最小值为( ). A. 1 B. C. D. 2 考点分析：菱形的性质、勾股定理. 思路点拨：连接AF交BD 于点 M，则 MA+MF 的值最小，等于线段AF 的长，根据菱形的性质和勾股定理即可算出AF的长. 例2如图,在矩形 ABCD 中, AB=3, BC=4, 点P是BC边上一动点, 连接AP, 作点B关于 AP的对称点 M, 则线段 MC的最小值为( ). A. 2 B. C. 3 考点分析：矩形的性质、勾股定理. 思路点拨: 连接AC, 则AM+MC≥AC, MC≥AC-AM, AM=AB, AC可由勾股定理求出. 例3如图, 在矩形ABCD中, AB=5, AD=10, 点E是边AD上的一个动点, 过点E 作 EF⊥AC,分别交对角线 AC, 直线 BC 于点 O, F, 则在点 E 移动的过程中, AF+FE+EC 的最小值为 考点分析：矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理. 思路点拨：由矩形内十字架模型可知 FE 为定值，所以，只需探究 AF+EC的最小值. 以 EF，EC 为邻边作□EFGC, 则EC=FG, EF=CG,∠ACG=∠EOC=90°,在 Rt△ACG 中, 通过勾股定理求出 AG的长, 即AF+EC的最小值. 三、提分必练 (一) 基础 1.如图,在正方形ABCD中, AB=2, 点E, F分别在边AB, BC上, AE=BF, 连接DE与AF交于点 G, 连接BG, 则 BG的最小值为 . 2.如图, 四边形 ABCD 为矩形, AB=3, BC=4, 点 P 是线段 BC 上一动点, 点 M 为线段AP 上一点, ∠ADM=∠BAP, 则BM的最小值为( ). A. B. 3.如图,正方形 ABCD 的边长为2,点 E 为与点D 不重合的动点, 以 DE 为一边作正方形DEFG, 设. 点 F, G与点C的距离分别为d₂, d₃, 则 的最小值为( ). A. B. 2 D. 4 4.如图,在正方形ABCD 中, AB=4, G是BC的中点, 点E是正方形内一个动点,且EG=2, 连接DE, 将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段DF, 连接 CF, 则线段 CF长的最小值为 . 5. 如图,∠MON=90°,已知△ABC中, 的顶点 A, B分别在边OM, ON上, 当点B 在边 ON上运动时, 点 A 随之在 OM上运动, 的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 . 6.如图, 在 Rt△ABC中, 点P为 内一点，且满足 则当PB的长度最小时, △ACP 的面积是( ). A. 3 (二) 提升 1.如图,点 E, F 分别是正方形ABCD 的边AB, BC上的动点,且AE=BF, 连接CE与 DF相交于点G,连接AG, 若AB=2, 则线段 AG的最小值为 . 2.如图,正方形 ABCD 的边长为10, 点 G 是边 CD 的中点, 点E 是边 AD 上一动点, 连接BE, 将△ABE沿BE翻折得到△FBE, 连接GF,当GF最小时, AE的长是 . 3.如图,在边长为6的等边△ABC中,点E, F分别是边AC, BC上的动点, 且AE=CF,连接BE, AF交于点 P, 连接CP, 则 CP的最小值为 . 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°, AB=2,点P是△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为 . 5.如图,在菱形 ABCD 中, 过点D作 DE⊥CD 交对角线AC于点E,连接BE, 点 P 是线段BE上一动点, 作P关于直线DE的对称点P', 点Q是AC上一动点, 连接P'Q, DQ.若AE=14,CE=18, 则DQ-P'Q 的最大值为 . 6. 如图,在正方形A