6.2.3&6.2.4 组合、组合数（8大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3&6.2.4 组合、组合数 重点：1、理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系；2、理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算； 难点：会解决一些简单的组合问题。 一、组合 1、定义：一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做个不同元素中取出个元素的一个组合。 2、两个组合相同的条件：两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。 3、对组合概念的两点说明： （1）组合的特点：组合要求个元素是不同的，被取出的个元素也是不同的，即从个不同元素中进行次不放回地取出； （2）组合的特性：元素是无序的，即取出的个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求。 二、组合数与组合数公式 1、组合数：从个不同元素中取出个元素所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示。 2、组合数公式：（，且） 3、组合数的性质： （1）； （2）； （3）规定 三、解答有限制条件的组合应用题的基本方法 1、直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素，再选取其他元素。 2、间接法：选择间接法的原则是“正难则反”，若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键。 四、排列与组合的相同点与不同点 1、相同点：组合与排列都是“从不同的元素中取出个元素” 2、不同点：组合中要求元素“不管元素的顺序合成一组”，而排雷中要求元素“按照一定的顺序排成一列”，因此区分某一个问题是组合问题还是排列问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关，即交换某两个元素的位置对结果没有影响，若有影响，则是排雷问题，若无影响，则是组合问题。 题型一 判断是否为组合问题 【例1】（22-23高二下·山西晋中·期中）下列问题中不是组合问题的是（ ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【变式1-1】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【变式1-2】（22-23高二下·江苏·单元测试）（多选）下列是组合问题的是（ ） A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？ C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？ D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？ 【变式1-3】（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列问题是组合问题的有（ ） A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个 B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价 C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法 D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法 题型二 组合数的求值与证明 【例2】（22-23高二下·河南郑州·期中）计算的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（ ） A．34 B．35 C．36 D．37 【变式2-2】（22-23高二下·江苏南通·期中）（多选）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． （1）证明： ； （2）证明： ． 题型三 组合数方程及不等式 【例3】（22-23高二下·吉林白山·期末）若，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-1】（23-24高二下·上海·月考）已知，则 . 【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）若，则实数 . 【变式3-3】（22-23高二下·河北石家庄·月考）若，求m. 题型四 组合数性质及应用 【例4】（23-24高二上·辽宁·期末）（ ） A．120 B．119