2.1课时3两角和与差的正切公式学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1 课时3 两角和与差的正切公式 【学习目标】 1.会推导出两角和与差的正切公式.(逻辑推理) 2.熟记公式的形式及符号特征,掌握公式的变形形式.(逻辑推理) 3.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简.(数学运算) 【自主预习】 1.两角和的正弦、余弦公式是什么? 2.两角差的正弦、余弦公式是什么? 1.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)=　　　　.  2.已知tan α=2,则tanα+=　　　　.  3.=　　　　.  4.已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为　　　　.  【合作探究】 探究1 两角和与差的正切公式 问题1:从两角和的正、余弦公式出发,你能推导出两角和的正切公式吗? 问题2:两角差的正切公式又如何推导呢? 问题3:两角和的正切公式中角α,β的取值范围是什么?为什么? 新知生成 两角和与差的正切公式 名称 公式 简记 条件 两角和的 正切公式 tan(α+β)= T(α+β) α≠kπ+,k∈Z,β≠kπ+,k∈Z,α+β≠kπ+,k∈Z,α-β≠kπ+,k∈Z 两角差的 正切公式 tan(α-β)= T(α-β) 　　特别提醒:(1)在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z,这是由正切函数的定义域决定的. (2)在应用两角和与差的正切公式时,只要tan α,tan β,tan(α+β)(或tan(α-β))中任一个的值不存在,就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题,应改用诱导公式或其他方法解题.如化简tan,因为tan的值不存在,所以不能利用公式T(α-β)进行化简,应改用诱导公式来化简,即tan==. 新知运用 一、正切公式的正用 例1　(1)求tan(-75°)的值; (2)已知cos α=,α∈(0,π),tan(α-β)=,求tan β的值. 方法指导　(1)75°=45°+30°,利用两角和的正切公式求解;(2)由已知可求得sin α的值,则可求得tan α的值,因为β=α-(α-β),所以tan β=tan[α-(α-β)],再利用两角差的正切公式求解. 二、正切公式的逆用 例2　求值:(1); (2). 方法指导　(1)逆用两角和的正切公式;(2)将换成tan 60°,再逆用两角差的正切公式. 【方法总结】　　(1)利用公式T(α+β),T(α-β)求角的步骤:①计算待求角的正切值;②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息;③根据角的范围及三角函数值确定角. (2)注意用已知角来表示未知角. 1.(1)已知tan=,则tan α=　　　　.  (2)已知角α,β均为锐角,且cos α=,tan(α-β)=-,则tan β=　　　　.  2.=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.1 D. 3.=　　　　.  探究2　正切公式在实际问题中的应用 例3　某购物广场准备建造一座大型电子屏幕.已知大屏幕下端B处离地面3.5米,大屏幕高4米,若某位观众眼睛离地面1.5米.为获得观看的最佳视野(最佳视野是指看到屏幕上下端夹角的最大值),这位观众距离大屏幕所在的平面距离应为　　　　米.  方法指导　构造直角三角形,利用两角差的正切公式求得表达式,利用基本不等式求解即可. 【方法总结】　　应用两角和与差的正切公式解决问题,要熟记公式特征,选择合适的公式求解.切记不要盲目地看到是和差角形式就套用公式,那样会凭空增加计算量,而且容易出错,先整体观察题目的特点,再寻找最简单的解题方法. 如图,三个相同的正方形相接,则tan∠AEB的值是(　　). 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D.-1 探究3　和、差公式在三角形中的应用 问题1:根据两角和与差的正切公式,tan α+tan β,tan α-tan β的变形是什么? 问题2:若α=20°,β=25°,则(1+tan α)(1+tan β)的值是多少? 新知运用 例4　根据下列条件,判断△ABC的形状(其中A,B,C为△ABC的三个内角). (1)tan Atan B=1; (2)tan Atan B>1; (3)tan A+tan B+=tan Atan B且sin Acos A=. 方法指导　(1)(2)切函数化为弦函数,通过三角函数值符号判断;(3)利用两角和的正切公式的变形,得到C的值,再利用同角三角函数的基本关系求角A,B的大小. 【方法总结】　　解答有关三角形的题目(求角、求某个角的三角函数值、判断三角形的形状等)时,常用两角和与差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公