特训02 平面向量及其应用 压轴题（七大题型归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

特训02 平面向量及其应用 压轴题（七大题型归纳） 目录： 题型1：平面向量的线性运算与数量积 题型2：平面向量的基本定理 题型3：平面向量与解三角形 题型4：平面向量数量积的坐标表示 题型5：解三角形 题型6：解三角形的实际应用 题型7：平面向量的新定义题型 题型1：平面向量的线性运算与数量积 1．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求向量的夹角； (3)求的取值范围． 2．如图，设中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且的面积是面积的一半.    (1)求边BC的长度； (2)设，，，当时，求k的值. 题型2：平面向量的基本定理 3．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 4．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值． 5．如图，已知是边长为2的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点．    (1)若，求实数的值； (2)求的最小值； (3)求周长的取值范围． 6．在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=    (1)试用，表示； (2)若，求∠ARB的余弦值 (3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 题型3：平面向量与解三角形 7．在中，，，，分别是角，，的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：    (1)求角的大小； (2)如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段与线段相交于点，点为重心，求线段的取值范围. 8．如图所示的矩形中，分别为线段上的动点. (1)若为靠近的三等分点，为的中点，且，求的值； (2)若是边长为1的正三角形. （i）令、、的面积分别为，，，证明：； （ii）求矩形面积的最大值. 9．在锐角△ABC中，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点O为△ABC的所在平面内一点，且满足． (1)若，求的值； (2)在（1）条件下，求的最小值； (3)若，求的取值范围． 10． “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， (1)若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； (2)若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 题型4：平面向量数量积的坐标表示 11．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． (1)若，求． (2)若，求在上的投影向量斜坐标． (3)若，，，求的最小值． 12．已知平面直角坐标系中，点，点（其中为常数，且），点为坐标原点. (1)设点为线段近的三等分点，，求的值； (2)如图所示，设点是线段的等分点，其中， ①当时，求的值（用含的式子表示）； ②当时.求的最小值. （说明：可能用到的计算公式：）. 13．如图所示，，，，四边形BEFM为正方形， ，N为BM的中点.    (1)若D是BC中点，求； (2)若点P满足， ①求的取值范围； ②点是以B为圆心，BM为半径的圆上一动点. 且在正方形BEFM的内部（包括边界），若，求的最小值. 14．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. (1)若，，，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，若，求的最大值. 题型5：解三角形 15．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且． (1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围； (2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值． 题型6：解三角形的实际应用 17．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形设. (1)当时，求四边形OACB的周长； (2)克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC