6.4.3余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019)必修第二册

余弦定理 在初中,我们已会解直角三角形. 就是说,已会根据 直角三角形中的已知的边与角求出未知的边与角. 那么, 如何来解斜三角形呢? 为此, 也就是如何根据斜三角形中已知的 边与角求出未知的边与角呢? 我们先来学习两个重 要定理 ——— 正弦定理和余弦定理. C B A c a b ﹚ 设 由向量减法的三角形法则得 C B A c a b ﹚ ﹚ 由向量减法的三角形法则得 设 C B A c a b ﹚ 余弦定理 由向量减法的三角形法则得 设 向量法 余 弦 定 理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 C B A b a c 对余弦定理还有其他证明方法吗? A B C a b c D 当角C为锐角时 几何法 b A a c C B D 当角C为钝角时 C B A a b c 余弦定理作为勾股定理的推广,考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 证明 证明:在三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB,则CD=bsinA,BD=c-bcosA A B C c b a 同理有: 当然,对于钝角三角形来说,证明类似,课后 自己完成。 D 探 究: 在 ABC中,已知CB=a,CA=b,CB与CA 的夹角为∠C, 求边c. C B A c a b ﹚ x y 坐标法 同理: 余 弦 定 理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 C B A b a c 推论: 利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题? 解:由余弦定理,得 因此 题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形 题型二、已知三角形的两边及一边的对角求解三角形 C B A c b a 题型三、已知三角形的三边或三边的比值解三角形 16 16 注:大边对大角,大角对大边 C B A c b a 解: 题型三、已知三角函数的三边或三边的比值解三角形 18 18 C 题型四、判断三角形的形状 解: 由余弦定理得: 推论: C B A b a c 知识提炼: 提炼:设a是最长的边,则 ABC是钝角三角形 ABC是锐角三角形 ABC是直角三角形 B 小结: 余弦定理可以解决的有关三角形的问题: 1、已知两边及其夹角,求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角; 3、判断三角形的形状 余弦定理: 推论: 【解】由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B, 得32=a2+(3eq \r(3))2-2a 3eq \r(3) cos 30 , ∴a2-9a+18=0,得a=3或6. 当a=3时,A=30 ,C=120 . 例4、在 中,已知 ,试求 的大小。 解:由题意知角C为最大角, 可令a=3t,b=5t,c=7t(t>0), 由余弦定理得cosC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(9t2+25t2-49t2,2 3t 5t) =-eq \f(1,2),又C∈(0 ,180 ), ∴C=120 ,即最大角的度数是120 . $$