9.4 直线、平面垂直的判定与性质-职教高考数学复习一本通

9.4 直线、平面垂直的判定与性质 1.掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理,并 会简单应用. 2.了解点到平面、直线到平面的距离,了解直线和 平面所成的角的定义,能求出直线与平面所成 的角. 3.掌握平面与平面垂直的定义、判定定理和性质 定理. 4.能运用平面与平面的垂直的定理判断有关命题 的真假. 5.能进行简单的面面垂直的证明. 6.理解二面角和二面角的平面角的概念,并能在简 单的几何体中会求二面角的大小. 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 条件:直线与平面内任一条直线都垂直. 结论:直线与平面垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都 垂 直,则 该 直 线 与 此 平 面 垂 直 (线线垂直,则线面 垂直) a,b⊂α a∩b=O l⊥a l⊥b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b (3)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. ②直线与平面所成的角的取值范围是[0°,90°], 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时, 规定直线和平面所成的角分别为90°和0°. 2.平面与平面垂直 (1)半平面 平面上的一条直线将平面分割成两部分,每一部 分叫做半平面. (2)二面角 ①二面角的相关概念 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做 二面角,这条直线叫做二面角的棱,两个半平面 叫做二面角的面.如图,α,β是二面角的面,l是 二面角的棱. ②二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角.如图,OB⊥l,OA⊥l, ∠AOB是二面角的平面角. 二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置 无关,二 面 角 的 大 小 用 它 的 平 面 角 的 大 小 来 度量. ③二面角的范围 设二面角的平面角为θ,则θ∈[0,π]. ④直二面角 当θ=π2 时,二面角为直二面角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —502— 第九章 立体几何 (3)平面与平面垂直 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角 是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (4)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个 平面 的 垂 线,则 这 两个平面互相垂直 l⊂β l⊥α ⇒α⊥β 性 质 定 理 两 个 平 面 互 相 垂 直,则 一 个 平 面 内 垂直于交线的直线 垂直于另一个平面 α⊥β l⊂β α∩β=a l⊥a 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒l⊥α 3.空间点、线、面之间的距离 (1)点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足 间的距离称为这个点到这个平面的距离. (2)直线到平面的距离 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到 平面的距离,叫做这条直线和平面的距离. (3)平面和平面之间的距离 夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度,叫做 两平行平面之间的距离. 直线与平面的位置关系是立体几何的重要内 容,直线与平面垂直的判定与性质是重点考查的知 识.证明两平面垂直是考查的重点内容. 题型一 直线与平面垂直的判定和性质 【典例1】 已知下列4个命题: ①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行; ④一条直线垂直于平面内的无数条直线,则这条 直线垂直于这个平面; 其中,正确命题的序号是 ( ) A.①③④ B.①②③ C.②③ D.②④ 【解析】 在①中,垂直于同一直线的两条直线可 能平行也可能异面;②③是课本的结论;④平面 内的无数条直线不一定有两条是相交的. 【答案】 C 【方法技巧】 线面的位置关系要多角度考虑,特 别垂直问题,要有空间想象力,多与生活中的几 何体联系. 【牛刀小试】 1.设l,m 是两条不同的直线,α是一个平面,