8.6 双曲线-职教高考数学复习一本通

8.6 双曲线 1.掌握双曲线的概念并会利用双曲线的定义解题. 2.掌握双曲线的标准方程和几何性质,会由已知条 件求双曲线的方程. 3.掌握直线与双曲线的位置关系,会解决直线与圆 锥曲线的有关问题. 一、双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2 的 等于常数 (小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲 线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距 离叫做焦距. 若常数2a=|F1F2|表 示 两 条 射 线;若2a> |F1F2|,则无轨迹;若2a=0,表示线段的垂直平 分线. 二、双曲线的标准方程和几何性质 焦点 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0, b>0) y2 a2 -x 2 b2 =1(a>0,b >0) 图形y 顶点 焦点 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 焦距 实轴长 虚轴长 离心率 e= (e>1) 续表 焦点 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 a,b,c 的关系 渐近线 方程 y=± y=± (1)双曲线的方程和几何性质中涉及的字母a,b, c,e,都有其含义,a是实半轴长,b是虚半轴长,c 是半焦距,它们是双曲线固有的与坐标系无关. (2)离心率e表示双曲线开口开阔程度,e越大, 开口越阔,e越小,越扁狭. 三、等轴双曲线 1.定义:实轴和虚轴等长的双 曲 线 叫 做 等 轴 双 曲线. 2.离心率:e= . 3.渐近线: .渐近线互相垂直. 4.等轴双曲线一般可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当 λ>0时双曲线焦点在x轴上,当λ<0时双曲线 焦点在y轴上. 四、共渐近线的双曲线 1.定义:渐近线相同的双曲线叫做共渐近线的双 曲线. 2.方程:如果已知一双曲线的渐近线为y=±bax , 那么此双曲线方程可设为x 2 a2 -y 2 b2 =λ(λ≠0);与 x2 a2 -y 2 b2 =1有共同渐近线的方程也可设为x 2 a2 - y2 b2 =λ(λ≠0),当λ>0时双曲线焦点在x轴上, 当λ<0时双曲线焦点在y轴上. 五、椭圆和双曲线的区别 名称 椭圆 双曲线 图象 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —871— 职教高考复习一本通·数学 续表 名称 椭圆 双曲线 定义 平面内到两定点F1, F2的距离的和为常 数(大于|F1F2|)的 动点的轨迹叫椭圆. 即|MF1|+|MF2| =2a 当2a>2c时,轨迹 是椭圆, 当2a=2c时,轨迹 是一条线段|F1F2| 当2a<2c时,轨迹 不存在 平面内到两定点 F1,F2 的距离的 差的绝对值为常 数(小于|F1F2|) 的动点的轨迹叫 双曲线,即|MF1| -|MF2|=2a 当2a<2c时,轨 迹是双曲线 当2a=2c时,轨 迹是两条射线 当2a>2c时,轨 迹不存在 标准 方程 焦点在x轴上时: x2 a2 +y 2 b2 =1 焦点在y轴上时: y2 a2 +x 2 b2 =1 注意 是根据分母 的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上 焦点在x轴上时: x2 a2 -y 2 b2 =1 焦点在y轴上时: y2 a2 -x 2 b2 =1 注意 是根据项 的正负来判断焦 点所在的位置 常数 a,b,c 的关系 a2=c2+b2(符合 勾股定理的结构) a>b>0 c2=a2+b2(符合 勾股定理的结构) c>a>0 六、直线与双曲线的位置关系 1.位置关系 联立直线Ax+By+C=0与双曲线x 2 a2 -y 2 b2 =1 的方程,得到关于x或y 的二次方程,根据判别 式Δ判断直线与双曲线的位置关系: (1)相离⇔ ;(2)相交⇔ ; (3)相切⇔ . 2.弦长 直线l交双曲线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|叫做弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与双曲线的交点 坐标,但并不求交点坐标,而是联立直线方程与 双曲线方程,得到关于x或y 的二次方程,通过 韦达定理求出x1+x2 和x1x2,通过下列公式转 化两点间