8.5 椭圆-职教高考数学复习一本通

15.一圆经过点P(2,1),且与直线x+y-1=0相 切,圆心在直线2x-y=0上,求圆的方程. 16.已知直线l经过点P(0,b),倾斜角α为π4 ,圆C 的方程为x2+y2=2. (1)当b为何值时,直线l与圆C 有公共点? (2)当b为何值时,直线l与圆C 相交所得的弦 长d= 6? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.5 椭圆 1.掌握椭圆的概念并会利用椭圆的定义解题. 2.掌握椭圆的标准方程和几何性质. 3.掌握直线与椭圆的位置关系. 一、椭圆的定义 1.平面内与两个定点F1,F2 的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定 点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距. 2.M 为椭圆上任一点,则有|MF1|+|MF2|=2a, (2a>|F1F2|=2c). 二、椭圆的标准方程和几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b >0) y2 a2 +x 2 b2 =1(a>b >0) 图形 续表 焦点位置 在x轴上 在y轴上 a、b、c的 关系 a2=b2+c2 a2=b2+c2 范围 |x|≤ , |y|≤ |x|≤ , |y|≤ 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a), A2(0,a), B1(-b,0), B2(b,0) 焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2(0,-c) 焦距 长轴、 短轴 长轴长= , 短轴长= 长 轴 长 = ,短 轴 长= 离心率 e=ca (0<e<1) e=ca (0<e<1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —371— 第八章 平面解析几何 说明: 1.x 2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)与y 2 a2 +x 2 b2 =1(a>b>0)表 示的椭圆大小、形状均相同,但它们的焦点在不 同的坐标轴上,若椭圆的焦点在x轴上,则标准 方程中x2项的分母较大,若椭圆的焦点在y轴 上,则标准方程中y2项的分母较大. 2.字母a,b,c,e都有其几何含义,a是半长轴长,b 是半短轴长,c是半焦距,它们是椭圆固有的,与 坐标系中的位置无关. 3.离心率e表示椭圆的扁平程度,e越趋近于1,椭 圆越扁;e越趋近于0,椭圆越趋近于圆. 三、直线与椭圆的位置关系 1.位置关系:相交、相切和相离 直线Ax+By+C=0与椭圆的x 2 a2 +y 2 b2 =1联立 方程组,得到一个关于x的一元二次方程,根据 判别式Δ进行判断:(1) ⇔Δ>0; (2) ⇔Δ<0;(3) ⇔Δ=0. 2.弦长 直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|叫做弦长. 求弦长的方法通常是设出直线与椭圆的交点坐 标,但并不求交点坐标,而是联立直线方程与椭 圆方程,得到关于x或y 的二次方程,通过韦达 定理求出x1+x2 和x1x2(或y1+y2 和y1y2). 通过下列公式转化两点间的距离: |AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = = 本节内容是圆锥曲线的第一节知识,是职教高 考的必考内容,椭圆的定义、性质、椭圆与直线的位 置关系的题目都是职教高考的重点内容,也为学习 双曲线与抛物线的知识奠定基础. 【题型一】 椭圆的定义 【典例1】 已知F1,F2是椭圆 x2 25+ y2 9=1 的左、右 焦点,过F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则 △MNF2的周长是 ( ) A.10 B.16 C.20 D.32 【解析】 在平面直角坐标系中作出椭圆x 2 25+ y2 9 =1及过F1 的直线MN,连接MF2,NF2,如图. 由M,N 是椭圆上两点,F1,F2 是椭圆的焦点, 得|MF1|+|MF2|=|NF1|+|NF2|=2a, 则△MNF2 的周长=|MN|+|MF2|+|NF2| =|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2| =|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2