8.4 曲线的方程与圆-职教高考数学复习一本通

8.4 曲线的方程与圆 1.掌握圆的标准方程,能根据条件熟练写出圆的标 准方程. 2.掌握圆的一般方程及其特点,能将圆的一般方程 转化为标准方程. 3.掌握直线与圆的位置关系,能灵活运用它们解决 有关问题. 4.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对 应关系.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的 概念. 5.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会 求曲线的方程. 一、圆的标准方程 1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆,定点是圆心,定长是圆的半径. 2.圆的标准方程 (1)圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为: . (2)圆心为(0,0),半径为r的圆的标准方程: . 二、圆的一般方程 1.圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆 心为 ,半径为 . 2.圆的一般方程的特点: (1)x2与y2的系数相等且不等于0; (2)没有xy这样的二次项. 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+ Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分 条件,要求圆的方程,通常用待定系数法. 三、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有:相切、相交、相离. 2.直线与圆位置关系的判定方法: (1)代数法:由直线和圆的方程联立,得到关于x 或y的一元二次方程,然后由判别式Δ来判断: 当Δ=0时,直线与圆 ;Δ>0时,直线与 圆 ;Δ<0时,直线与圆 . (2)几何法:由圆心到直线的距离d和圆的半径r 的大小关系来判断: ①d=r时直线与圆相切;②d<r时直线与圆相 交;③d>r时直线与圆相离. 3.直线与圆的位置关系经常解决的问题: (1)相切时: ①求切线方程:当过圆上一点M(x0,y0)时,圆心 为C(a,b),则切线过点M(x0,y0)与向量CM→垂 直,根据点法式方程求切线;若圆的方程为x2+ y2=r2,则过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为 . 当过圆外一点时,圆有两条切线,在求圆的切线 方程时,用待定系数法设为点斜式方程,利用圆 心到直线的距离等于半径求斜率k,如果求出一 个解,则说明另一条的斜率不存在,切线垂直于 x轴. ②求切线的长:由半径、点到圆心的距离、切线长 构成直角三角形,根据勾股定理求解. (2)相交时:根据垂径定理,解决弦长、弦心距等 有关问题. (3)相离时:圆上的点到直线的最小(大)距离等 于圆心到直线的距离减(加)半径. 四、曲线与方程 (1)曲线与方程的关系 一般地,如果曲线C和方程F(x,y)=0之间建立 起以下关系:①曲线C上任一点的坐标(x,y),都 满足方程F(x,y)=0,则称曲线C为方程F(x,y) =0的曲线;②以方程F(x,y)=0的解(x,y)为坐 标的点都在曲线C上,则称F(x,y)=0叫做曲线 C的方程,即C= P(x,y)|F(x,y)=0 . (2)求解曲线方程的一般步骤 ①建立适当的坐标系; ②设动点P的坐标为(x,y); ③根据几何条件写出曲线上点的特征性质; ④用x,y 的关系式表示这个特殊 性 质,列 出 方程; ⑤化简整理; ⑥证明化简的方程是所求曲线的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —961— 第八章 平面解析几何 以上步骤中最后一步证明一般可以省略,但要检 验所求方程上所有点是否都符合题意,若有不合 条件的点,应去掉. (3)曲线与曲线的交点 设曲线C1:F1(x,y)=0, 曲线C2:F2(x,y)=0. 则C1与C2有交点⇔ F1(x,y)=0, F2(x,y)=0 有实数解; C1与C2无交点⇔ F1(x,y)=0, F2(x,y)=0 无实数解. 本节内容是职教高考命题的一个知识点,求圆 的方程或解决直线与圆的位置关系是常考察的知 识点. 【题型一】 求圆的标准方程 【典例1】 (1)已知圆C1与圆C2关于直线y=-x 对称,若圆C1 的方程是(x+5)2+y2=4,则圆 C2的方程是 ( ) A.(x+5)2+y2=2 B.x2+(y+5)2=4 C.(x-5)2+y2=2 D.x2+(y