8.2 两条直线的位置关系-职教高考数学复习一本通

15.已知直线l的倾斜角是直线y=- 3x+1的倾 斜角的1 4 ,且经过点(3,-1),求直线l的点斜 式方程. 16.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,4),B(1, 1),C(7,3). (1)求BC边上的中线所在直线的方程; (2)求BC边上的高所在直线的方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.2 两条直线的位置关系 1.掌握两条直线位置关系的判断. 2.掌握判断两条直线平行与垂直的条件,并能熟练 运用条件解决有关问题. 3.会求两条直线的交点. 4.掌握点到直线的距离公式,并能熟练应用公式解 决有关问题. 1.两条直线的位置关系 关系 已知条件 相关结论 特别提醒 平行 l1:A1x+ B1y+C1 =0, n1=(A1, B1). l2:A2x+ B2y+C2 =0, n2=(A2, B2) ①l1∥l2⇔存在 一个非零实数λ, 使 ,且 C1≠ . ②l1∥l2⇔ 且 . 一般的,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线都可 以 表 示 成 =0(D≠C) 重合 l1:A1x+ B1y+C1 =0. l2:A2x+ B2y+C2 =0 l1 与l2 重 合⇔ 且 ①斜率存 在的两条 直线平行, 斜率相等. ②判断两 条直线平 行 时,注 意排除重 合的情况 续表 关系 已知条件 相关结论 特别提醒 相 交 一 般 的 l1: A1x +B1y+ C1=0. l2: A2x +B2y+ C2=0 l1 与l2 相 交⇔ . 求两条直线的交 点就是解由两条 直线方程联立组 成的方程组 A1x+B1y+C1 =0, A2x+B2y+C2 =0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 这个方程组的解 就是两条直线的 交点的坐标 垂直是相 交的一种 垂 直 l1: A1x +B1y+ C1=0. l2: A2x +B2y+ C2=0 l1⊥l2 ⇔ =0 l1:y = k1x+b1. l2:y = k2x+b2 l1⊥l2 ⇔ =-1 与直线 Ax+By +C=0 垂直的 直线都 可以表 示成 Bx-Ay +E=0 斜率不存 在的直线 和斜率等 于0的直 线也垂直 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —161— 第八章 平面解析几何 【特别提醒】 当直线与坐标轴平行时需单独考虑. 两直线斜率均不存在时,两直线也平行; 一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时, 两直线垂直. 2.点到直线的距离 点P(x0,y0)到 Ax+By+C=0 的 距 离 d = |Ax0+By0+C| A2+B2 . 特别的: 点P(x0,y0)到x=a的距离是|x0-a|; 点P(x0,y0)到y=b的距离是|y0-b|. 点到直线的距离对于特殊的直线可用点到直线 距离公式,也可通过图象求解.点到平行于坐标 轴的直线的距离等于对应的坐标值的差的绝 对值. 3.两条平行线间的距离公式 Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的距 离d= |C1-C2| A2+B2 . 【特别提醒】 求两条平行线间的距离时,系数要一致(要求x, y的系数必须相同),再利用公式. 正确判断两条直线的位置关系是本节的重点, 应用两直线平行和垂直的条件求直线的方程是职 教高考的一个重要知识点. 【题型一】 两直线位置关系的判定 【典例1】 已知直线l1:(m+1)x+(2m-1)y+ 3m=0,直线l2:(m+3)x+(m+1)y-4=0.当 m为何值时,(1)l1与l2平行? (2)l1与l2垂直? 【解】 (1)当m=-3和m=-1时,l1与l2不平行. 当m≠-3且m≠-1时, l1∥l2⇔ m+1 m+3= 2m-1 m+1≠- 3m 4. 由m+1 m+3= 2m-1 m+1 ,解得m=1或m=-4; 由2m-1 m+1≠ 3m -4 ,解得m≠13 ,且m≠-4. ∴当m=1时,l1∥l2. (2)∵l1⊥l2, ∴(m+1)(m+3)+(2m-1)(m+1)=0, ∴m=-1或m=-23 , 故当m=-1或m=-23 时,l1⊥l2. 【方法技巧】 两条直线的位置关系的判定