7.4 平面向量的内积及其运算-职教高考数学复习一本通

13.已知向量a=(3x-1,y),b=(2y+1,x+3),且 a,b是相等的向量,求x,y的值. 14.已知点O(0,0),A(1,t),B(4t,5)及OP → =OA → - AB →,试求t为何值时: (1)点P在x轴上; (2)点P在y轴上; (3)点P在第四象限. 15.设点A(-1,2),B(n-1,3),C(-2,n+1), D(2,2n+1),若向量AB → 与CD → 共线且同向,求n 的值. 16.已知e1,e2 是平面内两个不共线的非零向量, AB → =2e1+e2,BE → =-e1+λe2,EC → =-2e1+ e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC → 的坐标; (3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C, D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A 的坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.4 平面向量的内积及其运算 1.理解两个向量之间夹角的概念,熟记两个向量夹 角的范围. 2.理解向量内积的定义及有关概念,掌握内积的运 算、性质及运算律. 3.掌握向量垂直的充要条件及应用. 4.掌握向量内积的直角坐标运算. 一、向量的内积 1.向量的内积 (1)两个向量的夹角 设a与b 为两个非零向量,在平面上任取一点 O,作OA → =a,OB → =b. 如图,则∠AOB叫做a与b的夹角,记作<a,b>. (2)两个向量夹角的取值范围是[0,π],即0≤ <a,b>≤π. 当<a,b>=0时,a与b ; 当<a,b>=π时,a与b ; 当<a,b>=π2 时,a与b垂直,记作 . 注:判断两个向量的夹角时一定要从同一个点出 发,即有共同的始点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —941— 第七章 平面向量 (3)向量的内积定义 已知a与b为两个非零向量,则数量 叫 做a与b 的内积,也称为a与b 的数量积或点 积.记作a·b= . 由定义可以知道,a·b是一个实数. 规定零向量与任何向量的内积为0, 即0·a=0. 2.向量内积的性质 设a,b是两个非零向量,则 (1)cos<a,b>= ; (2)a⊥b⇔ ; (3)当a,b同向时,a·b=|a|·|b|; 当a·b反向时,a·b=-|a|·|b|;特别的a·a =|a|2或|a|= a·a. 3.向量内积的运算律 (1)交换律:a·b= ; (2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)分配律:(a+b)·c= ; (4)不满足组合律:(a·b)·c≠a·(b·c). 也不满足消去律:a·b=a·c⇒/b=c. 4.向量内积满足乘法公式 (1)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; (2)|a+b|2= ; (3)|a-b|2= . 二、向量内积的直角坐标运算 1.如果a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1 +a2b2. 2.向量内积的应用 (1)证垂直:a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; (2)求夹角:cos<a,b>= ; (3)求长度:|a|2=a·a或|a|= a·a= ; (4)求单位向量a0= . 本节内容是职教高考的重点内容,每年都会命 题,记住向量内积的定义式和坐标运算式是解决本 节的关键. 题型一 向量的内积的概念与计算 【典例1】 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b 的夹角是120°,a,c的夹角是45°.求: (1)a·b; (2)(a-2b)·(3a+b); (3)a·(a-4b+ 2c). 【解】 (1)a·b=|a||b|cos120°=3×4× -12 =-6. (2)(a-2b)·(3a+b)=3a2+a·b-6a·b- 2b2=3|a|2-5a·b-2|b|2=3×32-5×3×4 ×cos120°-2×42=25. (3)a(a-4b+ 2c)=a2-4a·b+ 2a·c=|a|2 -4|a||b|cos120°+ 2|a||c|cos45° =32-4×3×4× -12 + 2×3×5× 2