7.3 平面向量的坐标表示及运算-职教高考数学复习一本通

15.如图,在平行四边形ABCD 中,AB → =a,AD → = b,E、F 分 别 为BC,CD 上 的 点,且|BE → |= 1 3|BC → |,|CF → |=13|CD → |,试用a,b 表示向量 AE →,AF →,EF → . 16.设OA →,OB → 不共线,P在O,A,B所在的平面内, 且OP → =mOA → +nOB →(其中m+n=1),求证:A, B,P三点共线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.3 平面向量的坐标表示及运算 1.掌握平面向量的直角坐标概念及其与点坐标之 间的关系. 2.理解并掌握向量的直角坐标运算. 3.掌握直角坐标系中,用坐标表示的两个向量平行 的充要条件. 4.掌握向量的距离公式和中点公式. 1.平面向量的坐标概念 设i,j是与x轴、y轴同向的两个单位向量,一般 地,对于平面直角坐标系xOy中的任意一个向 量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.其 中x称为向量a 在x轴上的横坐标,y称为向量 a在y轴上的纵坐标.(x,y)称为向量a在平面 直角坐标系xOy中的坐标,记作a= . 特别地,i=(1,0),j= ,0= . 2.向量的直角坐标运算 条件 坐标运算 a=(x1,y1), b=(x2,y2), λ∈R a+b= a-b= λa= a·b= A(x1,y1), B(x2,y2) AB → = a=(x1,y1), b=(x2,y2) a=b⇔ 两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 向量的相应坐标. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —641— 职教高考复习一本通·数学 3.用坐标表示两个向量平行的条件 设向量a=(x1,y1),b(x2,y2),则a∥b的充要 条件是 . 当x2≠0,y2≠0 时,a∥b 的 充 要 条 件 是 . 4.向量的长度公式和两点间的距离公式 (1)平面向量的长度公式 若a=(x,y),则|a|= . (2)平面上两点间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB → =OB → -OA → =(x2, y2)-(x1,y1)= ,所以|AB → |= . 5.线段中点的坐标公式 设线段AB的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),线 段AB的中点M(x,y),则x= ,y= . 本节内容是向量在坐标系下的表示和线性运 算,是职教高考的重点内容,会计算两个向量在坐 标系下的运算. 题型一 向量的直角坐标运算 【典例1】 (1)已知a=(-3,2),若a的终点坐标 为B(2,-1),则a的起点坐标为 ( ) A.(-5,-3) B.(-5,3) C.(5,-3) D.(5,3) 【解析】 设a的起点坐标为A(x,y). ∵a=AB → =OB → -OA →(O为坐标原点), ∴OA → =OB → -a, ∴OA → =(2,-1)-(-3,2)=(5,-3), ∴a的起点坐标为(5,-3). 【答案】 C (2)已知向量a=(1,2),b(2,3),c=(3,4),且c= λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 ( ) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 【解析】 依题意得(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3)= (λ1+2λ2,2λ1+3λ2), 则 λ1+2λ2=3, 2λ1+3λ2=4, 解得 λ1=-1 , λ2=2. 【答案】 D 【方法技巧】 坐标运算 方法规律 a+b=(x1+x2,y1+y2) 对应坐标相加 a-b=(x1-x2,y1-y2) 对应坐标相减 续表 坐标运算 方法规律 λa=(λx1,λy1) 乘每一个坐标 a·b=x1x2+y1y2 对应坐标相乘 a=b⇔x1=x2,y1=y2 对应坐标相等 【牛刀小试】 1.已知a=(2,1),b=(-3,4). (1)求a+2b,3a-4b; (2)若2a+x=b,求x. 题型二 共线向量的坐标表示 【典例2】 已知a=(2,3),b=(-1,2)