7.2 平面向量的数乘运算-职教高考数学复习一本通

16.如图所示,△ABC的三 条中线AD,BE,CF 相 交于点G,求证: (1)BD → +EA → +FB → =0; (2)GA → +GB → +GC → =0. 17.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB → =a,BC → =b,OD → =c求证: c+a-b=OB → . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2 平面向量的数乘运算 1.掌握数乘向量的概念及几何意义. 2.掌握数乘向量的运算律. 3.理解并掌握平行向量基本定理及其应用. 一、数乘向量 1.数乘向量的定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量,这种运算叫 做数乘向量,记作λa. 向量λa(a≠0)的长度与方向规定为: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0时,λa与a 的方向 ;当λ<0 时,λa与a的方向 . (3)当λ=0时,λa=0;当a=0时,λ0=0.其中λa 中的实数λ,叫做向量a的系数. 2.数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a 的方 向或a的反方向,长度放大或缩小.如2a的几何 意义就是沿着a 的方向,长度放大到原来的2 倍;-3a的几何意义就是沿着a 的反方向,长度 放大到原来的3倍. 注意 数乘的向量结果是一个向量,实数相乘结 果是一个数. 3.数乘向量的运算律 (1)λ(μa)= ;(结合律) (2)(λ+μ)a= ;(第一分配律) (3)λ(a+b)= .(第二分配律) 二、平行向量基本定理 1.平行向量基本定理 如果向量b≠0,则a∥b的充分必要条件是:存在 唯一的实数λ,使得 . 2.非零向量a方向上的单位向量 非零向量a方向上的单位向量是指与a 同向的 单位向量,通常记作a0.由平行向量的基本定理 可知:a∥a0,所以a=λa0,因为|a|=|λa0|=|λ| |a0|=|λ|=λ. 所以a=|a|a0,即a0= a |a|. 3.线段中点的向量表达式 点M 是线段AB 的中点,O是平面内任意一点, 则OM → = . 三、平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不平行的向量, 那么对该平面上的任一向量a,存在唯一的一对 实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2,e1,e2叫做基向量. 本节内容是向量的基本内容,和向量的加法、 减法运算构成向量的基本运算.线段的中点公式是 学习向量的坐标下求线段中点的依据. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —241— 职教高考复习一本通·数学 题型一 数乘向量 【典例1】 计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b); (2)12 (3a+2b)-23a-b -76 12a+37 b+ 7 6a ; (3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c). 【解】 (1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b. (2)12 (3a+2b)-23a-b -76 12a+37b+76a =12 (3a-23a+2b-b -76 12a+12a+37b =12 7 3a+b -76 a+37b =76a+ 1 2b- 7 6a- 1 2b=0. (3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c =(6a-4a+4a)+(8b-6b)+(6c-4c-2c) =6a+2b. 【方法技巧】 向量的数乘运算可类似于代数多 项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量 的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公 因式”指向量,实数看作是向量的系数. 【牛刀小试】 1.计算下列各式. (1)(-2)×12a ; (2)2(a+b)-3(a-b); (3)(λ+μ)(a-b)-(λ-μ)(a+b). 题型二 平面向量共线定理 【典例2】 设两个非零向量e1 和e2 不共线,如果 AB → =a+b,BC → =2a+8b,CD → =3(a-b),求证: A,B,D三点共线. 【分析】 欲证A,B,D 三点共线,只需证AB → 与 BD → 共线即可. 【证明】 因为AB → =a+b, BD → =BC → +CD