6.3 等比数列-职教高考数学复习一本通

15.已知Sn 是等差数列{an}的前n项和,a6=0, a3+a7=6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn<0,求n的最小值. 16.已知一次函数f(x)=ax+b,若f(2),f(5), f(4)成等比数列,且f(8)=15. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当n取正整数时,判断数列f(1),f(2),… f(n)是否为等差数列; (3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)(n∈N+) 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.3 等比数列 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式并会应用公式进行简 单的计算. 3.掌握等比中项的概念及其应用. 4.掌握等比数列的前n项和公式,会应用公式进行 简单的计算和解决实际问题. 5.掌握等比数列的重要性质和通项公式、前n项和 公式的综合应用. 1.等差数列与等比数列的对照表 数列 等差数列 等比数列 定义 数 列 {an}中,若 an+1-an=d( 为 常 数),则 {an}是 数 列 {an}中,若 an+1 an =q(q 为 常 数,且q≠0),则 {an}是 续表 数列 等差数列 等比数列 中项 如果a,A,b成等 差数列,那么称A 为a 与b 的等差 中项,并且A= 如果a,G,b成等 比数列,那么称G 为a 与b 的等比 中项,并且G=± (ab>0) 通项 公式 an= an= 前n 项和 公式 Sn= = Sn= = (q≠1), (q=1) (1)等比数列的项、公比均不能为0. ①当q>0时,数列的各项与首项同号; ②当q<0时,数列的各项符号正负相间; ③当q=1时,数列是常数列:a,a,a,a,…(a≠ 0).但常数列不一定是等比数列,只有非零的常 数列,才是等比数列. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —721— 第六章 数列 (2)不是任意两个数都有等比中项,只有当ab>0 时,a,b才有等比中项. (3)当ab>0时,a,b的等比中项为G=± ab, 不要忘了“±”号. (4)等比数列的前n项和公式: 当q≠1时,Sn= = ; 当q=1时,Sn= . 有时易忽略q=1的情形. 2.等比数列的性质 (1)若m,n,s,t∈N+,m+n=s+t,则 . (2)若m+n=2p,则有am·an=a2p.数列{an}是 等比数列⇔a2n= ·an+1. (3)an= 或qn-m= . (4)an,an+k,an+2k,…也是等比数列(即等比数 列中,每隔k-1项取出一项,按照原来的顺序组 成的新的数列依然是等比数列),公比为qk. (5)若等比数列{an}的公比为q,则Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,…也是等比数列,公比为q. (6)数列{an}是等比数列,则数列{kan},{akn} (k为非零常数)均为等比数列. 3.等比数列的通项公式与前n项和公式 等比数列的通项公式与前n项和公式是解决等 比数列问题的基础,运用通项公式与前n项和公 式解决的问题类型有以下几个方面. (1)五个基本量(q,a1,an,n,Sn)(知三求二)的 运算. (2)三个数成等比数列时,这三个数的设法技 巧 成等比数列的三个数常设为a q ,a,aq . 本节内容是本章的另一个重要知识点,也是职 教高考的重点内容,求等比数列的通项公式和前n 项公式是本节的重点内容,等比数列的性质是职教 高考的热点. 题型一 等比数列的判定 【典例1】 已知数列{an}的通项公式为an=3n+1, 证明:数列{an}为等比数列,并求公比q. 【解】 ∵an=3n+1, ∴an+1=3n+2, ∴ an+1 an =3 n+2 3n+1 =3(n+2)-(n+1)=3, ∴{an}为等比数列,且公比为3. 【方法技巧】 判断一个数列{an}是等比数列的 基本 方 法 是 定 义 法:若 数 列{an 满 足 an+1 an =q (q为常数且不为零)或 an an-1 =q(n≥2,q为常数 且不为零),则数列{an}是等比数列. 【牛刀