6.2 等差数列-职教高考数学复习一本通

6.2 等差数列 1.掌握等差数列的概念,会判断一个数列是否是等 差数列. 2.掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简 单问题. 3.掌握等差中项的概念及其应用. 4.掌握等差数列的前n项和公式,会用公式解决一 些简单问题. 5.掌握等差数列的重要性质及其综合应用. 1.等差数列 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的差都等于同一常数, 则称这个数列为等差数列,这个常数称 为数列的公差,常用d来表示.即an- an-1= (n≥2,n∈N+).例:a2 -a1=a3-a2=…=an-an-1=d 通项 公式 an= (n≥2,n∈N+), an 为关于n的一次函数 等差 中项 如果a,A,b成等差数列,那么称A 为a 与b的等差中项,即A= 常用 性质 an= ⇔d= (m≠n,m, n∈N+). 已知等差数列的任意两项可求公差d 在等差数列中,若m+n=p+q,则 (m,n,p,q∈N+). ①由am+an=ap+aq 一般无法推出m +n=p+q; ②一般地,am+an≠am+n; ③特别地,若m+n=2p,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…也 成等差数列,公差为 .如:a1+ a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…也 成等差数列 在等差数列{an}中,等距离取出若干项 也 构 成 一 个 等 差 数 列,即 an,an+k, an+2k,an+3k,an+4k,…也成等差数列,公 差为kd (1)若d=0,则该数列为常数数列,即an-an-1 =0. (2)若已知3个数成等差数列,且已知3个数之 和,可采用对称设法,即设此3个数分别为a- d,a,a+d,以便简化计算. 2.等差数列前n项和公式 (1)当公差d=0时,前n项和Sn= . (2)当公差d≠0时,前n项和Sn= = . 特别提醒: (1)若已知a1,d,n,an,Sn 此5个量中的任意3 个,则可求出其余两个量(知三求二). (2)前n项和公式为关于n的二次函数,且无常 数项,即Sn=An2+Bn. 3.等差数列前n项和的最值 当an>0,d<0时,前n项和有最大值.可由an≥ 0且an+1≤0,求得n的值. 当an<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤ 0且an+1≥0,求得n的值. 等差数列是本章的重要知识点,是职教高考的 重点内容,求等差数列的通项公式和前n项和公式 是本节的重点内容,等差数列的性质是职教高考的 热点. 题型一 等差数列的判定 【典例1】 判断下列数列是否是等差数列,并给出 证明. ①an=4-2n; ②an=n2+n. 【解】 ①是等差数列. ∵an+1-an=4-2(n+1)-(4-2n) =4-2n-2-4+2n=-2(常数), ∴{an}是等差数列,且公差为-2. ②不是等差数列. ∵a1=2,a2=6,a3=12, ∴a2-a1≠a3-a2, ∴{an}不是等差数列. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —321— 第六章 数列 【方法技巧】 判定一个数列为等差数列的一般 方法 (1)定义法:从第2项起后一项与前一项之差为 定值. (2)通项公式法:an=kn+b. (3)中项公式法:an= an+1+an-1 2 . 【牛刀小试】 1.(1)已知数列{an}的通项公式为an= 9 2-n. 求 证:数列{an}是等差数列. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,an=Sn· Sn-1(n≥2,n∈N+),an>0.求证: 1 Sn 为等差 数列. 题型二 等差数列的基本运算 【典例2】 等差数列{an}的第5项为0,第9项为 12,求数列{an}的首项,公差及前20项的和S20. 【解】 设等差数列{an}的公差为d. 由题意得 a1+4d=0, a1+8d=12, 解得a1=-12,d=3, ∴a20=-12+(20-1)×3=45, ∴S20= 20(a1+a20) 2 =10× (-12+45)=330. 【方法技巧】 在等差数列中,若已知am=a,an=b,