5.8 解三角形-职教高考数学复习一本通

5.8 解三角形 1.熟记正弦、余弦定理、了解推导过程. 2.灵活应用正弦,余弦定理解决有关三角形问题. 3.熟记面积公式,并解决有关问题. 1.正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中,各边和它所对的角的正弦的比值 相等,即 a sinA= b sinB= c sinC=2R 其中2R为△ABC外接圆的直径. (2)正弦定理的应用 ①解三角形的概念 一般地,我们把三角形的各个内角以及它们 所对的边叫做三角形的元素.任意一个三角形都 有六个元素:三边(a,b,c)和三角(A,B,C).在三 角形中,由已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫做解三角形. ②正弦定理在解三角形中的应用 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题: (ⅰ)已知两角和任意一边求其他元素; (ⅱ)已知两边和其中一边所对的角求其他元素. 2.余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形任何一边长的平方等于其他 两边长的平方和减去这两边的长与 它们的夹角的余弦乘积的2倍 公式表述 , , 推论 cosA= ,cosB= , cosC= (2)余弦定理在解三角形中的应用 余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题: ①已知三角形的两边及其夹角求其他元素; ②已知三角形的三边求其他元素. 3.解三角形问题的类型与解法 基本类型 一般解法 解的个数 已知两角 及其中一 角的对边, 如A,B,a (1)由A+B+C=180° 求C; (2)根据正弦定理 asinA = bsinB 及 a sinA= c sinC 求b,c. 如果已知的是两角和它 们的夹边,如A,B,c,也 是先求第三个角C,然 后根据正弦定理求边, 求解过程中尽可能应用 已知元素,以减小误差 一解 已知两边 及其夹角, 如a,b,C (1)根据余弦定理c2= a2+b2-2abcosC求c; (2)根 据 cos A = b2+c2-a2 2bc 求A; (3)根据B=180°-(A +C)求B. 求出第三边后,也可用 正弦定理求角,这样往 往可以使计算简便,应 用正弦定理求角时,为 了避开讨论(因为正弦 函数在区间(0,π)上是 不单调的),应先求较小 边所对的角,因为它必 是锐角 一解 已知三边 可以连续用余弦定理的 推论求出两角,再由A+ B+C=180°求第三个角. 由余弦定理的推论求出 一个角后,也可以根据正 弦定理求出第二个角,但 应先求较小边所对的角 一解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —211— 职教高考复习一本通·数学 续表 基本类型 一般解法 解的个数 已知两边 及其中一 边的对角, 如a,b,A (1)根据正弦定理,经讨 论求B; (2)求出B后,由A+B +C=180°求C; (3)根据正弦定理 asinA = csinC 求c. 也可以根据余弦定理, 列出以边c为元的一元 二次方程c2-(2bcosA) c+(b2-a2)=0,根据一 元二次方程的解法求边 c,然后应用正弦定理或 余 弦 定 理,求 出 其 他 元素 两解、 一解 或无解 4.三角形的面积公式 任意一个三角形的面积,都等于任意两边及其夹 角正 弦 乘 积 的 一 半,即S△ABC = 1 2absinC= 1 2bcsinA= 1 2acsinB. 正弦定理和余弦定理解决三角形问题,也是职 教高考的重点内容,理解并记住公式是解决问题的 关键,是职教高考的重点考查的知识点,记住公式 是本节的基本要求. 题型一 正弦定理及其应用 【典例1】 已知在△ABC中,b=12,A=30°,B= 120°,求a. 【解】 ∵ asinA= b sinB , ∴a=bsinAsinB= 12sin30° sin120°= 12×12 3 2 =4 3. 【方法技巧】 正弦定理适用情况 (1)已知两角与任一边,求其余两边与第三角. (2)已知两边与其中一边的对角,求其余两角与 第三边. 【牛刀小试】 1.(1)在△ABC中,a=2,b=3,B=2A,则cosA= . (2)在△ABC中,若b=2,c=2 3,B=