5.6 两角和与差的三角函数-职教高考数学复习一本通

5.6 两角和与差的三角函数 1.了解两角和与差的三角函数公式,并熟练记住 公式. 2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式. 3.熟记半角公式. 4.掌握辅助角公式. 5.熟练应用公式进行计算、化简与证明. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)= ; cos(α±β)= ; tan(α±β)= α,β,α±β≠ π 2+kπ ,k∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角公式 sin2α=2sinαcosα; cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; tan2α= 2tanα 1-tan2α α≠kπ+π2 且α≠kπ2+ π 4 ,k∈Z . (2)二倍角公式与两角和的正弦、余弦、正切公式 的联系 在两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ中,令β=α,可得sin2α=sin(α+α)= sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα. 同理可得二倍角的余弦公式和正切公式. 3.辅助角公式 ɑsinα+bcosα= a2+b2sin(α+β),其中a,b为 非零常数,cosβ= a a2+b2 ,sinβ= b a2+b2 . 4.半角公式 sinα2= ; cosα2= ; tanα2= = = . 两角和与差的三角函数是本章的重点内容,也 是求正弦型函数的图象与性质等题目的基础,是职 教高考的重点考察内容. 题型一 求特殊角的余弦值 【典例1】 cos15°的值为 ( ) A.6+ 24 B. 6- 2 4 C.6+ 28 D. 6- 2 4 【解析】 cos15°=cos(45°-30°)=cos45°. cos30°+sin45°sin30°= 22× 3 2+ 2 2× 1 2 = 6+ 24 . 【答案】 A 【方法技巧】 已知某一个角的三角函数值,求另 一个角的三角函数值时,要找到这两个角之间的 联系,通过构造两角的三角函数,利用公式进行 计算.做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或 拼角的变换. 【牛刀小试】 1.sin105°的值为 ( ) A.6- 24 B. 2- 6 4 C.6+ 24 D.- 6- 2 4 题型二 公式的逆向应用 【典例2】 cos45°cos15°+sin45°sin15°=( ) A.- 32 B. 3 2 C.-12 D. 1 2 【解析】 cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos(45° -15°)=cos30°= 32. 【答案】 B 【方法技巧】 牢记三角函数公式的形式,若不 符合,要根据公式进行变形.先将系数转化为特 殊角的三角函数值,再利用三角函数公式求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —301— 第五章 三角函数 【牛刀小试】 2.sin20°cos40°+cos20°sin40°= ( ) A.14 B. 3 2 C.12 D. 3 4 题型三 已知三角函数值求和角的三角函数值 【典例3】 已知sinα=45 ,cos(α+β)=- 5 13 ,α,β 都是锐角,求cosβ. 【解】 因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π. 因为sinα=45 , 所以cosα= 1-sin2α= 1- 45 2 =35 , sin(α+β)= 1-cos2(α+β) = 1- -513 2 =1213 , 所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα= - 5 13 ×35+1213×45=3365. 【方法技巧】 (1)找角的范围,确定在第几象限. (2)根据象限角确定符号(一全正,二正弦,三正 切,四余弦). (3)利用基本关系式sin2α+cos2α=1,求出其余 三角函数值. (4)将问题式子通过和角公式展开,这里要注意“角 变换”规律,用“已知角”表示“未知角”,如2α=(α+ β)+(α-β),β=(α+β)-α等,再或者在△ABC中, cosC=cos[π-(A+B)]