5.5 三角函数的图象和性质-职教高考数学复习一本通

5.5 三角函数的图象和性质 1.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质(定义域、 值域、周期性、奇偶性、单调性),会用“五点法”画 正弦函数的简图. 2.会由特殊角的三角函数值求满足条件的角. 3.掌握正弦型函数的图象和性质(定义域、值域、周 期性). 4.会用“五点法”画正弦型函数的简图. 5.会根据已知特殊的三角函数值求满足条件的角. 1.正弦函数、余弦函数的图象 (1)y=sinx的图象 正弦函数y=sinx,x∈R的图象如图①所示. (2)五点法作正弦函数的图象 在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,起关 键作用的点有以下五个: . 事实上,描出这五个点之后,函数y=sinx,x∈ [0,2π]的图象形状就基本上确定了,再通过向 左、向右平移即可得到正弦函数y=sinx,x∈R 的图象,这种作图方法叫做“五点法”. 在画三角函数图象的时候,一般都采用“五点 法”. (3)y=cosx的图象 余弦函数y=cosx=sin π2+x ,x∈R的图象 可以通过将正弦函数y=sinx,x∈R的图象向 左平移π 2 个单位长度得到,如图②. (4)五点法作余弦函数的图象 在余弦函数y=cosx,x∈[0,2x]的图象上,起关 键作用的点有以下五个: (0,1),π2 ,0 (π,-1),3π2,0 ,(2π,1). 描出这五个点之后,用光滑曲线连接就得到y= cosx,x∈[0,2π]的图象,再通过左右平移即可 得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (5)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数与余弦函数的图象分别叫做正弦曲线 与余弦曲线. 2.正弦函数、余弦函数的性质 (1)周期函数和函数的最小正周期 对于函数y=f(x),存在一个非零常数T,当x 取定义域内每一个值时,都有f(x+T)=f(x) 成立,则称函数y=f(x)为周期函数,其中T叫 做周期. 对于三角函数,周期不是唯一的,如果在周期函 数的所有周期中存在着一个最小的正数,则称此 最小正数为函数的最小正周期,今后我们所说的 三角函数的周期即其最小正周期. (2)y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 , k∈Z} 值域 最值 当x=2kπ+ π 2 (k∈Z)时, ymax= ; 当x=2kπ- π 2 (k∈Z)时, ymin= 当x=2kπ(k ∈Z)时, ymax= ; 当x=2kπ+π (k∈Z)时, ymin= 无最值 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —99— 第五章 三角函数 续表 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 周期性 最小正周期 为 最 小 正 周 期 为 最 小 正 周 期 为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 增 区 间 (k∈Z) 减 区 间 (k∈Z) 无 对 称 性 对称中心: (k∈Z) 对称轴方程: (k∈Z) 对称中心: (k∈Z). 对称轴方程: (k∈Z) 对称中心: ( ,0) (k∈Z) 本节内容是本章的另一重要知识点,是学习正 弦型函数的图象和性质的基础,是职教高考的重要 内容. 题型一 求下列函数的定义域 【典例1】 求下列函数的定义域: (1)y= 2sin2x-1;(2)y= sinx+ 25-x2. 【解】 (1)由2sin2x≥1得sin2x≥12. 把2x当作整体t,画y=sint的图象. 在[0,2π]内,满足sint≥12 有π 6≤t≤ 5π 6 ,所以 π 6≤2x≤ 5π 6. 故在实数集 R 上2x满足π6+2kπ≤2x≤ 5π 6+ 2kπ,k∈Z,即π12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ ,k∈Z, 所以定义域为 x π12+kπ≤x≤ 5π 12+kπ ,k∈Z . (2)根据函数表达式可得 sinx≥0, 25-x2≥0 ⇒ 2kπ≤x≤2kπ+π(k∈