5.3 同角三角函数的基本关系-职教高考数学复习一本通

5.3 同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握同角三角函数的两个基本关系:平方 关系、商数关系. 2.会根据同角三角函数的两个基本关系进行求值、 化简及证明. 3.会由正切值,求其余三角函数值和齐次式的值. 4.掌握三角函数式的变换:“1”的代换,弦、切函数 的相互转换. 1.同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 注意 在同角三角函数的两个基本关系式中,所 谓的“同角”是指三角关系式中的角必须是相 同的. 2.基本关系式的变形公式 sin2α+cos2α=1⇒ sin2α= , cos2α= , sinα= , cosα= , =1±2sinαcosα. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 tanα=sinαcosα⇒ sinα= , cosα= . 本节内容是职教高考的重点内容,也是求和角 和倍角函数值的基础,是学习正弦型函数的图形和 性质的基础. 题型一 根据同角三角函数关系求值 【典例1】 (1)已知α是第二象限角,sinα=35 ,则 cosα= ( ) A.45 B.- 3 4 C. 3 4 D.- 4 5 【解析】 由cosα=± 1-sin2α=± 1- 35 2 =±45 ,又因为α是第二象限角,cosα<0,所以 cosα=-45. 【答案】 D (2)已知α是第四象限角,tanα=-512 ,则sinα= ( ) A.15 B.- 1 5 C. 5 13 D.- 5 13 【解析】 由 sin2α+cos2α=1, sinα cosα=tanα=- 5 12 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得sinα=±513 , 又因为α是第四象限角,sinα<0, 所以sinα=-513. 【答案】 D 【方法技巧】 由某角的一个三角函数值求它的 其余各三角函数值的依据及种类依据:cosα= ± 1-sin2α或sinα=± 1-cos2α,要 根 据 角α 所在的象限,恰当选定根号前面的正负号,而在 使用tanα=sinαcosα 时,不存在符号的选取问题. 【牛刀小试】 1.(1)已知θ∈ -π2 ,0 ,若cosθ= 32,则sinθ= . (2)已知sinα=45 ,且α是第二象限角,求角α的 余弦值和正切值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —19— 第五章 三角函数 题型二 三角函数式简化———有切有弦,弦化切 【典例2】 已知tanα=3,求:①2sinα-3cosα4sinα-9cosα ; ②sin2α-3sinαcosα+1. 【解】 ①原式=2tanα-34tanα-9= 2×3-3 4×3-9=1. ②原式=sin 2α-3sinαcosα sin2α+cos2α +1=tan 2α-3tanα 1+tan2α +1=3 2-3×3 1+32 +1=0+1=1. 【方法技巧】 对于三角函数的化简和运算,一般 情况下,分子分母同时除以cosα或cos2α转化 成含tanα的式子,化简求值;对于含“1”的式子, 要与“1”紧密联系在一起化简求值,或者把sin2α +cos2α=1代入式子中,再化简求值. 【牛刀小试】 2.已知tanα=5,则sinα+3cosαsinα-cosα= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型三 三角函数式的化简 【典例3】 化简下列各式. (1) 1-cosθ1+cosθ+ 1+cosθ 1-cosθ ,θ∈ π2 ,π ; (2)sinx1-cosx · tanx-sinx tanx+sinx. 【解】 (1)原式= (1-cosθ)2 sin2θ + (1+cosθ)2 sin2θ =1-cosθ|sinθ|+ 1+cosθ |sinθ|= 2 |sinθ|. ∵θ∈ π2 ,π ,∴原式= 2sinθ. (2)原式= sinx1-cosx · sinx cosx-sinx sinx cosx+sinx = sinx1-cosx · sinx(1-cosx) sinx(1+cosx) = sin