4.6 指数、对数函数模型及其应用-职教高考数学复习一本通

15.解不等式:log12(2x2-3x+1)>log12(x2+2x-5). 16.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象过 点 1 4 ,2 . (1)求a的值; (2)计算a- 1 2-lga+lg5的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4.6 指数、对数函数模型及其应用 1.理解指对函数模型、会用函数模型解题. 2.了解指对函数模型的性质比较,并会选择函数 模型. 1.指数、对数函数模型 (1)指数函数模型:y=bax+c(a,b,c为常数,b≠ 0,a>0,a≠1). (2)对数函数模型:y=mlogax+n(m,n,a为常 数,a>0,a≠1,m≠0). 2.指数、对数函数模型的性质比较 性质 函数模型 y=bax+c(b> 0,a>1) y=mlogax + n(m>0,a>1) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 越来越 越来越 图象的 变化 随x 的增大逐 渐表 现 为 与y 轴平行 随x的增大逐 渐表 现 为 与x 轴平行 指对函数的应用是考试的一个难点,也是一个 热点问题,多与新定义问题联系,涉及指对运算,要 注意把握. 题型一 指数函数的应用 【典例1】 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a元,每年利率为r,设本利和为y,存期为x,写 出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本 金1000元,每期利率为2.25%,试计算5年后的 本利和是多少? (注:复利是一种计算利息的方 法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息) 【解】 1年后的本利和为y1=a+ar=a(1+r), 2年后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r= a(1+r)2, 3年后的本利和为y3=a(1+r)3, …… x年后的本利和为y=a(1+r)x. 将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式,得 y=1000(1+2.25%)5≈1117.68. 答:5年后的本利和约为1117.68元. 【方法技巧】 在解决有关平均增长(减少)率的 问题时,常应用指数函数模型.如果基础值为a, 平均增长(减少)率为p,那么对于时间x的总值 y的函数模型为y=a(1+p)x 或y=a(1-p)x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —77— 第四章 指数函数和对数函数 【牛刀小试】 1.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每增加一次 过滤可减少水中杂质20%. (1)写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函 数关系式; (2)要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至 少需要过滤多少次? 题型二 对数函数模型的实际应用 【典例2】 我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞 往南方过冬.研究燕子的科学家发现,两岁燕子 的飞行速度可以表示为函数v=5log2 O 10 (单位: m/s),其中O表示燕子的耗氧量,则当燕子静止 时的耗氧量和当一只燕子的耗氧量是80时的飞 行速度分别是 ( ) A.10,15m/s B.10,8m/s C.15,15m/s D.50,15m/s 【解析】 当燕子静止时,它的速度v=0,将其代 入v=5log2 O 10 得0=5log2 O 10 ,解得O=10. 当O=80时,v=5log2 80 10=5log28=15 (m/s). 【答案】 A 【方法技巧】 对数函数应用题中的基本类型和 求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会 给出函数解析式,然后根据实际问题再求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式 中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入 解析式求值,然后根据数值回答其实际意义. 【牛刀小试】 2.设在海拔xm处的大气压强是yPa,y与x之间 的函数关系式是y=cekx,其中c,k为常量,已知 某地某天海平面上的大气压为1.01×105Pa, 1000m高空的大气压为0.90×105Pa,求600m 高空的大气压强.(结果保留3位有效数字) 题型三 指对函数模型的性质比较 【典例3】 f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当 x∈(2,+∞)时,下列选项中正确的是 ( ) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g