4.2 幂函数-职教高考数学复习一本通

4.2 幂函数 1.通过实例,了解幂函数的概念. 2.结合函数y=x、y=x2、y=x3、y=x 1 2、y=x-1的 图象,了解它们的变化情况及性质. 3.会利用幂函数解决一些问题. 1.幂函数的定义 一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为 , 其中底数x是 ,底数的系数为1,指数α 为常数. 2.幂函数的图象与性质 (1)幂函数的图象 ①幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定 不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三 象限内,要看函数的奇偶性. ②幂函数的图象最多只能同时出现在两个象 限内. ③如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是 原点. (2)幂函数的性质 ①所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都 经过点(1,1). ②当α>0时,幂函数的图象经过原点,并且在区 间[0,+∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂 函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象 上凸. ③当α<0时,幂函数在区间上是减函数.在第一 象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右 方无限逼近y 轴正半轴,当x趋于+∞时,图象 在x轴上方无限逼近x轴正半轴. ④当α=0时,函数y=x0的图象是直线y=1去 掉一点(0,1). 3.常见的5种幂函数的图象 4.常见的5种幂函数的性质 解析式y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 定义域 值域 R 奇偶性 单调性 在 上减, 在 上增 在 和 上减 过定点 题型一 幂函数的概念 【典例1】 若函数f(x)=(2m+3)xm 2 -3是幂函 数,则m的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】 幂函数是形如f(x)=xα 的函数,所以 2m+3=1,∴m=-1. 【答案】 A 【方法技巧】 形如y=xα 的函数叫幂函数,它具 有三个特点: (1)系数为1. (2)指数为常数(也可以为0). (3)后面不加任何项. 【牛刀小试】 1.已知幂函数f(x)的图象经过(9,3),则f(2)- f(1)= ( ) A.3 B.1- 2 C.2-1 D.1 题型二 幂函数的图象 【典例2】 图中的曲线是幂函数y=xα 在第一象 限的图象,已知α取±2,±12 四个值中的一个, 对应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— 第四章 指数函数和对数函数 A.-2,-12 ,1 2 ,2 B.2,12 ,-12 ,-2 C.-12 ,-2,2,12 D.2,12 ,-2,-12 【解析】 由曲线C1,C2 表示的幂函数为增函数, C3,C4 表示的幂函数为减函数,可排除A,C. 取x=2,则x- 1 2= 22 ,x-2=14. 由 2 2> 1 4 ,得C3,C4 对应 的α值 分 别 为- 1 2 , -2. 【答案】 B 【方法技巧】 幂函数在第一象限内指数变化规 律:在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到 下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧, 图象从下到上,相应的指数由大变小. 【牛刀小试】 2.已知幂函数y=xn,y=xm,y=xp 的图象如图, 则 ( ) A.m>n>p B.m>p>n C.n>p>m D.p>n>m 题型三 幂函数的性质 【典例3】 已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm 在 (0,+∞)上是增函数,则实数m= ( ) A.2 B.-1 C.-1或2 D.12 【解析】 因为幂函数f(x)=(m2-m-1)xm 在 (0,+∞)上是增函数, 所以 m2-m-1=1, m>0, 解得m=2. 【答案】 A 【方法技巧】 要类比常见幂函数的性质,利用其共 性.对于单调性、奇偶性按一般函数的判断方法. 【牛刀小试】 3.已知a=0.32,b=20.3,c=1.90.3,则a,b,c的大 小关系是 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 题型四 幂函数图象和性质的综合应用 【典例4】