3.5 函数的实际应用-职教高考数学复习一本通

3.5 函数的实际应用 1.分析简单实际问题中的数量关系,并建立相应的 函数解析式. 2.能够运用一次函数、二次函数的性质,结合不等 式的知识,解决某些简单的实际问题. 1.数学模型与数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时, 所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建 立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问 题的一般数学方法. 2.解函数应用题的一般步骤 (1)读题:阅读题目,准确理解题意,弄清每一个 词语的含义.合理、恰当的设出未知量. (2)建模:抽象概括数量关系,并能用数学语言表 示,构造函数模型. (3)求解:利用所学的数学知识,分析、解决数学问题. (4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调 节,将结果应用于现实,作出解释或预测. (5)作答:答出最终结果. 函数的应用题是职教高考的一重要题型,主要 考查学生应用函数知识解决实际生活的能力,主要 考查一次函数和二次函数的应用.应用二次函数的 性质求最优化问题,而读懂题意是解决问题的关 键,实际生活中变量的取值范围是要注意的问题. 题型一 一次函数模型 【典例1】 为了发展电信事业,方便用户,电信公 司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用 的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系 如图所示. (1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间 的函数解析式; (2)请帮助用 户 计 算 在 一 个 月 内 使 用 哪 种 卡 便宜. 【解】 (1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x, 把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1=k1x+ 29,y2=k2x,得k1= 1 5 ,k2= 1 2. ∴y1= 1 5x+29 (x≥0),y2= 1 2x (x≥0). (2)令y1=y2,即 1 5x+29= 1 2x ,则x=9623. 当x=9623 时,y1=y2,两种卡收费一致; 当x<9623 时,y1>y2,使用“便民卡”便宜; 当x>9623 时,y1<y2,使用“如意卡”便宜. 【方法技巧】 1.一次函数模型解决实际问题的原则 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下 按照“问什么,设什么,列什么”的原则来处理,求 解过程也比较简单. 2.一次函数模型解决问题的注意点 用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象 的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解 析式.对于一次函数y=ax+b(a≠0),当a>0 时为增函数,当a<0时为减函数.另外,要结合 题目理解(0,b)或 -ba ,0 这些特殊点的意义. 【牛刀小试】 1.江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称.甲、乙 两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同 的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利 酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单 位:元)之间的函数关系如图所示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 第三章 函数 (1)直接写出y甲,y乙 关于x的函数关系式. (2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买 小龙虾更省钱? 题型二 二次函数的应用题 【典例2】 有一块边长为6m的等边三角形钢板, 要从中截取一块矩形材料,如图所示,求所截得 的矩形的最大面积. 【解】 由题意可知,△PQR是等边三角形,四边 形ABCD是矩形. 设CD=x(0<x<6),则PD=x. 所以DQ=6-x,AD=DQsin60°= 32 (6-x). 所以矩形面积S= 32 (6-x)x =- 32x 2+3 3x. 当x=3时,S有最大值, Smax= 3 2 (6-3)×3=9 32 (m2). 答:所截得的矩形的最大面积为9 3 2 m 2. 【方法技巧】 解决实际应用问题的步骤 (1)审题:认真读题,明确哪些是已知数,它们之 间的关系是怎样的. (2)设未知数:用字母表示未知数,这个未知数可 能是一个直接未知数,也可能是一个间接未知数. 必须要标注未知数的定义域,且符合实际意义. (3)列方程:先确定一个等量