3.4 二次函数的图象和性质-职教高考数学复习一本通

3.4 二次函数的图象和性质 1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的图象和 性质. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式,会求二次 函数的最大(小)值. 3.能灵活运用二次函数的知识解决有关数学问题. 1.二次函数的定义 一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y=ax2的图象和性质 (1)二次函数y=ax2的图象是顶点为坐标原点, 对称轴为y轴的抛物线. (2)二次函数y=ax2 的图象与a的符号的关系 如下: ①a>0⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点; ②a<0⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. (3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的 解析式形式为y=ax2(a≠0). 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 (1)图象 二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行 于y轴(包括与y轴重合)的抛物线. (2)二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标、 对称轴 ①y=ax2+bx+c=ax+b2a 2 +4ac-b 2 4a ,其图象 的顶点坐标是 ,对称轴是直线 . ②运用配方的方法,将二次函数的解析式化为 y=a(x-h)2+k的形式,得到二次函数图象的 顶点坐标为 ,对称轴是直线 . (3)抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用 ①a决定抛物线的开口方向及开口大小. ②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛 物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b2a , 故b=0时,对称轴为y轴;ba>0 (即a,b同号) 时,对称轴在y轴左侧;ba<0 (即a,b异号)时, 对称轴在y轴右侧. ③c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交 点的位置.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只 有一个交点(0,c),当c=0时,抛物线经过原点; 当c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;当c<0 时,抛物线与y轴交于负半轴. 4.几种特殊的二次函数的图象特征 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 +k y=ax2+bx +c 当 a>0 时,开 口 向上; 当 a<0 时,开 口 向下 直线 (y轴) 直线 (y轴) 直线 直线 直线 5.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般步骤:设二次函数的解析式→列出含参 数的方程(组)→解方程(组)→还原写出解析式. (2)已知抛物线上三点或三对x,y的值,通常选 择一般式y=ax2+bx+c(a≠0); 已知抛物线的顶点或对称轴,通常选择顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0); 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1,x2, 通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 6.二次函数图象与性质的应用 (1)利用二次函数的图象研究其开口方向、对称 轴、顶点坐标、单调性、最值及图象的平移变化; (2)利用二次函数的图象求解方程(组)、解析式 和解决实际问题,体现数形结合思想. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 职教高考复习一本通·数学 二次函数是一重要的函数,也是职教高考考查 的重点内容,求二次函数的图象和性质,二次函数 的解析式、二次函数的应用是常考的知识点. 题型一 求二次函数型的定义域 【典例1】 函数y= x2+x-6的定义域是 ( ) A.[-2,3] B.(-∞,-2]∪[3,+∞) C.[-3,2] D.[-∞,-3]∪[2,+∞) 【解析】 函数y= x2+x-6的定义域是x2+ x-6≥0,由一元二次不等式的解法或二次函数 的图象知,D正确. 【答案】 D 【方法技巧】 将二次函数转换为一元二次不等 式,再根据不等式的解法解决问题. 【牛刀小试】 1.函数f(x)=lg(-x2+x+2)的定义域是 ( ) A.(-∞,2] B.(1,2) C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.(-1,2) 题型二 求二次函数的最值(顶点) 【典例2】