3.3 函数的奇偶性-职教高考数学复习一本通

3.3 函数的奇偶性 1.理解奇函数、偶函数的概念. 2.掌握奇函数和偶函数的图象特征,会判断一个函 数的奇偶性. 3.利用函数的奇偶性解决有关的数学问题. 4.利用奇偶性和单调性解决综合性问题. 一、函数奇偶性的概念 1.定义 一般地,对于函数f(x),①如果对于函数定义域 内的任意一个x,都有 ,那么函数f(x) 就叫做奇函数.②如果对于函数定义域内的任意 一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶 函数.一个函数如果是奇函数或偶函数,则这个 函数具有 . 2.判断函数奇偶性的步骤 ①求出函数的定义域,并判断定义域是否关于原 点对称;②若不对称,则函数是非奇非偶函数;若 对称,判断f(-x)=±f(x)之一是否成立.如果 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;如果f(-x) =-f(x),则函数是奇函数;如果f(-x)= f(x)且f(-x)=-f(x),则函数既是奇函数又 是偶函数;如果f(-x)≠f(x)且f(-x)≠ -f(x),则函数是非奇非偶函数. 3.奇函数和偶函数的图象特征 一个函数是奇函数的充要条件是其图象关于原 点对称,一个函数是偶函数的充要条件是其图象 关于y轴对称.这也是判断一个函数奇偶性的一 种方法(图象法). 注意 ①对于常量函数y=c(c为常数且c≠0), 若定义域关于原点对称,则函数是偶函数. ②对于奇函数,若x=0时函数有意义,则f(0) =0. ③一次函数f(x)=kx+b为奇函数的充要条件 是b=0. 二次函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条 件是b=0. ④既是奇函数又是偶函数的函数解析式为f(x) =0(只要定义域关于原点对称,这样的函数有无 数个). ⑤如果一个函数的定义域不关于原点对称或图 象不关于原点或y轴对称时,函数没有奇偶性. 4.常见函数的奇偶性 (1)常见的奇函数有: ①f(x)=kxn(n=2k+1,k∈Z) ②f(x)= n x(n=2k+1,k∈Z) ③f(x)=a x-a-x m (a>0,a≠1,m≠0) ④f(x)=a x+1 ax-1 (a>0,a≠1) ⑤f(x)=loga 1+x 1-x (a>0,a≠1,-1<x<1) ⑥f(x)=loga(1+x2±x)(a>0,a≠1) ⑦f(x)=sinax (2)常见的偶函数有: ①f(x)=axn(n=2k,k∈Z) ②f(x)=a x+a-x m (a>0,a≠1,m≠0) ③f(x)=|x| ④f(x)=cosax 函数的奇偶性一般与单调性综合出题,难度较 大,综合性强.是考试的重难点,在复习时要牢牢 把握. 题型一 奇、偶函数的定义 【典例1】 若函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函 数,且f(-2)=4,f(-3)=5,则f(2)与f(3)的 大小关系是 ( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)<f(3) C.f(2)=f(3) D.无法判断 【解析】 函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(-2)=4,所以f(-2)=-f(2)=4,因此f(2) =-4,f(-3)=-f(3)=5,因此f(3)=-5. 【答案】 A 【方法技巧】 牢记定义,记熟f(-x)与f(x) 关系.合理转化即可. 【牛刀小试】 1.函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,已知f(1) =-3,则f(-1)的值为 ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 题型二 奇偶函数的图象特征 【典例2】 下列函数的图象是奇函数的是 ( ) A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 职教高考复习一本通·数学 【解析】 判断函数的奇偶性,首先判断函数的定 义域是否关于原点对称,然后判断图象是否关于 原点或y轴对称,B选项的定义域为(-3,3]不 关于原点对称,是非奇非偶函数,C选项的定义 域为(- ∞,+∞),但图象不关于原点对称,也 不关于y轴对称,是非奇非偶函数;D选项的图 象关于y轴对称,是偶函数. 【答案】 A 【方法技巧】 一个函数是奇函数的充要条件是 其图象关于原点对称,一个函数是偶函数的充要 条件是其图象关于y轴对称