1.5 充要条件-职教高考数学复习一本通

则下列命题为真命题的是 ( ) A.p∧q B.􀱑p∧􀱑q C.􀱑p∧q D.p∧􀱑q 11.“5≥5”是 形式的新命题,它是 (“真”或“假”)命题. 12.命题p:∃x0∈R,x20+2x0+5<0是 (填 “全称命题”或“特称命题”),它是 命题(填 “真”或“假”),它的否定为􀱑p: . 13.命题“∀x∈R, 12x+4>0 ”的否定是 . 14.已知命题p:函数f(x)=(2a-1)x+b在 R上 是减函数;命题q:函数g(x)=x2+ax在[1,2] 上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范 围是 . 15.分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q” “􀱑p”形式的命题的真假. ①p:1∈{2,3},q:2∈{2,3}; ②p:2是奇数,q:2是合数; ③p:4≥4,q:23不是偶数; ④p:不等式x2-3x-10<0的解集是{x|-2 <x<5}, q:不等式x2-3x-10<0的解集是{x|x>5或 x<-2}. 16.设命题p:存在x0∈R,x20-2x0+m-3=0,命 题q:对任意x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠ 0.若p∧q为真命题,求实数m的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.5 充要条件 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,区别 并会使用符号“⇒”“⇐”“⇔”等. 2.理解子集与推出的关系,能正确判定一个命题是 另一个命题的什么条件. 1.推出 当“如果p,那么q”是真命题,则称p推出q,记作 “ ”. 2.充分条件、必要条件 如果“p⇒q”是真命题,则称p是q的充分条件, 或q是p的必要条件.这三句话表达的是同一逻 辑关系. 3.充要条件 如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的充要条件.或q 是p的充要条件,即p与q等价,记作 . 4.子集与推出的关系 对于集合A={x|p},B={x|q}.如果A⊆B, 则x具有性质p,推出x具有性质q,记做p⇒ q.反之,如果p⇒q,那么集合A 一定是集合B 的 . “p⇒q”通常还可表述为:p是q的充分条件. 如果A=B,那么p⇔q;如果p⇔q,那么A=B. 即A=B与p⇔q等价. 这是通常判断一个命题是否是另一个命题的充 分条件、必要条件、充要条件的方法. 5.推出的五种等价说法 总结以上知识,下列五种说法是等价的: (1)p⇒q; (2)如是p,那么q是真命题; (3)p是q的充分条件; (4)q是p的必要条件; (5)以p为性质的集合A 是以q为性质的集合B 的子集. 本节知识内容是高考的重点内容,能正确判断 一个命题是另一个命题的哪种条件关系. 题型一 符号“⇒”“⇐”或“⇔”的理解 【典例1】 用符号“⇒”“⇐”或“⇔”填空: (1)a>3 a>2; (2)x∈R x∈Z; (3)x=0且y=0 x2+y2=0; (4)三角形的三边相等 三角形的三个内 角相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 职教高考复习一本通·数学 【解析】 (1)如果“a>3”那么“a>2”,所以是⇒ 关系;(2)如果“x∈Z”,那么“x∈R”,所以是⇐关 系;(3)如果“x2+y2=0”,那么“x=0且y=0”, 反之亦然,所以是⇔关系;(4)是如果“三角形的 三边相等”,那么三角形是等边三角形,则“三角 形的三个内角相等”,反之亦然,所以是⇔关系. 【答案】 (1)⇒ (2)⇐ (3)⇔ (4)⇔ 【方法技巧】 如果“p⇒q”,那么p是q成立的充 分条件或者q是p 的必要条件;如果“p⇔q”,那 么p是q的充要条件. 【牛刀小试】 1.用符号⇒、⇐、⇔表示命题p与q的关系,并指出 p是q的什么条件. (1)p:0<x<2,q:|x-1|<1; (2)p:(x-1)(x+1)=0,q:x=1; (3)p:b2-4ac≥0(a≠0),q:ax2+bx+c=0(a≠ 0)有实根; (4)p:A∩B=B,q:B⊆A; (5)p:抛物线y=ax2+bx+c过原点,q:c=0; (6)p:|x+1|+|y+1|=0,q:x=-1,且y= -1. 题型二 充分条件