1.4.2 第4课时空间向量的综合应用同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第4课时　空间向量的综合应用 必备知识基础练 1．[2023·福建宁德高二检测](多选)直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为m，n，则下列命题为真命题的是(　　) A.若α∥β，则m∥n B.若a∥m，则直线a⊥平面α C.若a⊥m，则直线a∥平面α D.若cos 〈a，m〉＝，则直线a与平面α所成的角为 2．(多选)已知＝(0，1，1)，＝(2，－1，2)，BE⊥平面BCD，则(　　) A.点A到平面BCD的距离为 B.AB与BE所成角的正弦值为 C.点A到平面BCD的距离为 D.AB与平面BCD所成角的正弦值为 3．[2023·江苏淮安高二检测](多选)如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，则下列结论正确的是(　　) A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.向量与的夹角为60° D.AC1⊥平面CB1D1 4.(多选)如图，正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为2，E是DD1的中点，则(　　) A.B1C⊥BD1 B.点E到直线B1C的距离为3 C.直线B1E与平面B1C1C所成的角的正弦值为 D.点C1到平面B1CE的距离为 5．如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A′B′C′D′中，M为BC的中点，则AM与D′B′所成角的余弦值为________；点C到平面DA′C′的距离为________． 6．如图在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点E是AD的中点，求： (1)异面直线D1E和A1B所成的角的余弦值； (2)点A1到平面BB1D1D的距离． 关键能力综合练 1.(多选)如图，在正四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1.则下列说法正确的是(　　) A.A1D⊥BE B.异面直线A1D与B1B所成角的正切值为2 C.A1C⊥平面DBE D.直线BE与平面A1DE所成角的正弦值为 2．(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则(　　) A.直线FC1与底面ABCD所成的角为30° B.平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为 C.直线FC1与直线AE的距离为 D.直线FC1与平面AB1E的距离为 3.(多选)如图，已知四棱锥P ­ ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，下列说法正确的是(　　) A.PB与CD所成的角是60° B.平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是 C.三棱锥P ­ ACD的体积是 D.PB与平面PCD所成的角的正弦值是 4．[2023·湖北荆州高二检测](多选)已知O是边长为2的正方形ABCD的中心，点E，F分别是AD，BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D ­ AC ­ B，则以下说法正确的是(　　) A.∠EOF＝60° B.EF的长度为 C.异面直线OE，BC所成的角是60° D.点D到平面EOF的距离为 5．[2023·山东潍坊高二检测]已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱BC的中点，点N是棱CC1上的一个动点，设点A，M，N确定的平面为α，当点N为CC1的中点时，平面α截正方体的截面的面积为________，点A1到平面α的距离的最小值为________． 6．[2023·河北石家庄高二检测]如图，在三棱锥P ­ ABC中，AC＝2，BC＝4，△PAC为正三角形，D为AB的中点，∠PCB＝∠ACB＝90°. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)若O为AC的中点，求平面POD与平面PBC夹角； (3)求点D到平面PBC的距离． 7．如图，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点．将△ADM沿DM翻折至△PDM，连接PC，PB. (1)证明：DM⊥PC； (2)若二面角P ­ DM ­ C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，BC＝BB1，BC1∩B1C＝O，AO⊥平面BB1C1C. (1)求证：AB⊥B1C； (2)若∠B1BC＝60°，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A1 ­ B1C1 ­ A的余弦值． 核心素养升级练 1．[2023·广东茂名高二测试](多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是(　　) A.直线AC1⊥平面BCD1A1 B.点B1到平面BCD1A1的距离是 C.无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1