2024年中考数学专项复习讲义：函数与几何图形存在性问题

北师大版九年级中考复习：函数与几何图形存在性问题 类型一、等腰三角形存在性 例1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，E是BC上一点，∠AED＝90°，AB＝6，SIN∠AEB＝，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN，∠MGN＝90°，点M在x轴上，点G在ED上，NG＝3，N与E重合．现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP，当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒． （1）若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式． （2）在整个运动过程中，设△MGN与△ABE重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． （3）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 类型二、直角三角形存在性 例2．如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，顶点A在第二象限，B，C两点在x轴的负半轴上（点C在点B的右侧），BC＝2，△ACD与△ABC关于AC所在的直线对称． （1）当OC＝2时，求点D的坐标； （2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OC的长； （3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向左平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P，问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由． 类型三、相似三角形存在性 例3．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线y＝（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标； （2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标； （3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、矩形存在性 例4．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”的形状为 　 　（不必写出证明过程）； （2）若抛物线y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y＝﹣x2+mx（m＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 类型五、菱形存在性 例5．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）经过▱OACB中A、B两点，直线AB交y轴、x轴于D、E两点． （1）若A、B两点坐标分别为A（2，3），B（6，b），则k＝　 　，b＝　 　； （2）若A是BD中点且k＝8，求▱OACB的面积． （3）若k＝12，是否存在菱形OACB，其中A、B两点横纵坐标均为正整数，如果存在，直接写出此时C点坐标，如果不存在，简要说明一下理由． 类型六、正方形存在性 例6．如图，直线y＝﹣x+11分别交x轴y轴于A，B两点，点D以每秒2个单位的速度从点A出发沿射线AD方向运动，同时点E以每秒1个单位的速度从点B出发沿边BA方向运动，当E到达点A时，点D，E同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）求点A的坐标及线段AB的长． （2）如图1，当t＝4﹣2时，求∠AED的度数． （3）如图2，以DE为对角线作正方形DFEG，在运动过程中，是否存在正方形DFEG的一边恰好落在△ADB的一边上？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 类型七、特殊角存在性 例7．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC＝45°，如果存