6.2.2.1组合与组合数公式-2023-2024学年高二数学人教A版2019选择性必修三

1.2.2　组　合 基础知识 知识点一　组合的定义 　一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二　组合数与组合数公式 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 组合数公式 乘积形式 C＝ 阶乘形式 C＝ 性质 C＝C C＝C＋C 备注 ①n，m∈N*，m≤n； ②规定C＝1，C＝1 知识点　组合的特点 (1)组合的特点是只取不排 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求． (3)相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合． 基础题型 类型一　组合概念的理解 例1　给出下列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 即时练习 1　判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 2.　判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？ (2)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？ (3)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？ 3．给出下列问题： ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 类型二　组合数公式及性质的应用 例2　(1)计算C－C·A； 反思　(1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算． (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C＝C；②C＝C＋C. 即时练习 1.计算：（1）； （2）； 2．计算：C＋C·C. 3.计算C＋C＝________. 类型三　简单的组合问题 例3　有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 即时练习 1.　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加． 2.　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 3．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有(　　) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 答案及解析 类型一　组合概念的理解 例1　给出下列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题． 反思　区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中