6.3 实数 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.3 实数 题型归纳 新知梳理 1．无理数 （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0.121121112…等． （2）判断方法： ①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据； ②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． （3）初中阶段常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π的一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． 2．实数的概念和分类 （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按正负分类： （3）分类标准的选择 对实数进行分类时，标准不同，得到的分类结果也就不同，但不管哪种分类方法，都要按照统一标准，做到不重不漏． 3．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 4．实数的有关概念 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如和互为相反数；的绝对值是；的倒数是． （2）有关概念 ①相反数：数a的相反数是． ②倒数：实数a的倒数是． ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即． 5．实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序依次进行．如果遇到括号，则先进行括号里的运算． 6．比较实数大小常用的方法 （1）作差法 （2）作商法 （3）乘方法：把含相同根号的两个无理数同时乘方，比较乘方后两个数的大小，同时考虑符号，从而确定两个无理数的大小． （4）比较被开方数：若a>b>0，则，． （5）倒数法：设a>0，b>0，若，则a<b． （6）数轴法：如果两个数在数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数． （7）放缩法：如果a>c，c>b，那么a>b． 举一反三 【题型1】认识无理数 方法点拨 1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数（比如，），而开方开不尽的数才是无理数． （2023秋•长春期末）下列各数中，是无理数的是　　例 1 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是无理数，故本选项符合题意； ．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：． 【变式1-1】（2023秋•二道区期末）下列四个实数中，是无理数的是　　 A． B． C． D．3.1415926 【答案】 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解：、是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； 、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 、3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：． 【变式1-2】（2023秋•绿园区期末）在实数，，3.1415，中，无理数是　　 A． B． C．3.1415 D． 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：是无理数，故本选项符合题意； ，是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：． 【变式1-3】（2022秋•祥符区期末）在这组数（两个5之间依次多一个中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：在（两个5之间依次多一个中， 无理数有（相邻两个5之间依次多一个共3个． 故选：． 【题型2】实数的概念和分类 方法点拨 1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏． 2．对实数进行分类时，应先对某