6.2 立方根 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第六章 实数 6.2 立方根 题型归纳 新知梳理 1．立方根的概念和性质 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 2．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ②； ③=a． （3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根． 3．平方根和立方根的区别和联系 （1）被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． （2）运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根． 举一反三 【题型1】求立方根和开立方 方法点拨 根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根． （2023秋•榆树市期末）的立方根是　　例 1 A．4 B．2 C． D． 【答案】 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：的立方根是． 故选：． 【变式1-1】（2022秋•清苑区期末）若一个数的立方根是，则该数为　　 A ． B ． C ． D ． 【分析】由于立方根和立方为互逆运算， 因此只需求得的立方即可解决问题 ． 【解答】解： 这个数． 故选：． 【变式1-2】（2023•榆阳区二模）的立方根为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：， 的立方根为． 故选：． 【变式1-3】（2022秋•渭南期末）的立方根是　　 A．4 B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解． 【解答】解：， 的立方根是． 故选：． 【题型2】利用立方根的性质求值 方法点拨 如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数；如果两个数的立方根相等，那么这两个数也相等．由此可以去掉根号求值． 若与互为相反数，求的值．例 2 【分析】根据相反数得出，得到与的关系，再代入求出即可． 【解答】解：与互为相反数， ， ， ， ． 【变式2-1】若与互为相反数，且，求的值． 【分析】根据立方根，即可解答． 【解答】解：与互为相反数， ， ． ， ， ． 【变式2-2】（2021春•饶平县校级期末）已知，且与互为相反数，求，的值． 【分析】已知第一个等式变形得到立方根等于本身确定出的值，再利用相反数之和为0列出等式，将的值代入即可求出的值． 【解答】解：，即， 或1或， 解得：或3或1， 与互为相反数，即， ，即， 时，；当时，；当时，． 【变式2-3】（2020秋•萍乡月考）已知且与互为相反数，求的平方根． 【答案】． 【分析】依据非负数的性质以及相反数的定义，即可得到，，的值，进而得到的平方根． 【解答】解：因为， 所以，， 所以，， 因为互为相反数， 所以， 所以， 所以， 因为5的平方根是， 所以的平方根为． 【题型3】利用立方根的知识解方程 方法点拨 只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x3=m或（ax+b）3=m的形式，再利用开立方的方法求解． （2023春•宝山区期末）方程的根是 　　．例 3 【答案】． 【分析】运用立方根知识进行求解． 【解答】解：两边都除以3，得， 开立方，得， 故答案为：． 【变式3-1】（2023春•杨浦区期末）方程的根是 　　． 【答案】． 【分析】方程利用直接开立方法求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（2022秋•东台市期末）解方程：． 【分析】先把64移到等号的右边，再系数化为1，根据立方根的定义求出的值，继而可得出的值． 【解答】解：， ， ， ， 解得：． 【变式3-3】（2023秋•竞秀区月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）利用立方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）原方程变形得：， 则； （2）原方程变形得：， 则， 解得：或． 【题型4】估算 方法点拨 立方根的估算方法和平方根的估算方法类似． 估算在相邻的两个整数　　和　　之间．例 4 【答案】4，5． 【分析】根据立方根的意义，进行估算即可得出答案． 【解答】解：因为，，即，， 所以， 故答案为：4，5． 【变式4-1