5.1 相交线 讲义 2023--2024学年人教版七年级数学下册

第五章 相交线与平行线 5.1 相交线 题型归纳 新知梳理 1．邻补角与对顶角 （1）相交线：有且只有一个公共点的两直线是相交线．相交是同一平面内两条直线的一种位置关系． （2）邻补角 ①定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． ②注意：邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角． （3）对顶角 ①定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角． ②性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角． （4）邻补角与对顶角的相同点： ①都是两个角之间的关系，要成对出现； ②对顶角与邻补角都有公共顶点． 2．垂线与垂线段 （1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD． （2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度． （3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上． （4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外． （5）垂线的画法 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；学-科网 三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线． （6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． （7）点到直线的距离的定义 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 3．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角 定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． 位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F” ． （2）内错角 定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角． 位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”． （3）同旁内角 定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角． 位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”． 举一反三 【题型1】认识对顶角、邻补角的概念 方法点拨 1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． 2．邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个． （2023春•七星关区期末）下列各图中，与是对顶角的是　　例 1 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的定义判断即可． 【解答】解：、与是对顶角，故符合题意； 、与不是对顶角，故不符合题意； 、与不是对顶角，故不符合题意； 、与不是对顶角，故不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（2023秋•香坊区校级期中）如图，和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的定义逐项识别即可，对顶角满足2个条件：①有公共顶点，②两边互为反向延长线． 【解答】解：．与的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； ．与没有公共顶点，且两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； ．与的两边互为反向延长线，且有公共顶点，是对顶角，故符合题意； ．与的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意． 故选：． 【变式1-2】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，与是邻补角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据邻补角的定义作答即可． 【解答】解：由题意知，中与是邻补角， 故选：． 【变式1-3】（2023春•阿城区期末）下列图形中，和是邻补角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【解答】解：．与是对顶角，故选项不符合题意； ．与是邻补角，故选项符合题意； ．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意； 与是同旁内角，故选项不符合题意； 故选：． 【题型2】应用对顶角、邻补角的性质进行计算 方法点拨 1．对顶角的性质：对顶角相等． 2．邻补角的性质：邻补角互补，即和