2024年1-3月各省市高三数学17分压轴题汇编

2024年1-3月各省市17分压轴题 1．（2024·天津·一模），，已知的图象在处的切线与x轴平行或重合． (1)求的值； (2)若对，恒成立，求a的取值范围； (3)利用如表数据证明：． 1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454 2．（2024·福建厦门·二模）若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知. (1)证明：存在源数列； (2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围； （ⅱ）记的源数列为，证明：前项和. 3．（2024·湖北·二模）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．    (1)若直线与轴的交点为，求证：； (2)过点作的垂线与直线交于点，求证：． 4．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 5．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； (3)设，证明：． 6．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）. (1)求的方程； (2)过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：； (3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明. 7．（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； (2)已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．（2024·云南·一模）已知是自然对数的底数，常数，函数. (1)求、的单调区间； (2)讨论直线与曲线的公共点的个数； (3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围. 9．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为，左、右顶点分别为，. (1)求的方程； (2)过右焦点的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点． （i）证明：点在定直线上： （ii）若直线与交于点，求证：． 10．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． (1)（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． (2)已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 11．（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形的四个顶点都在抛物线上，且A，B在第一象限，轴，抛物线在点A处的切线为l，且．    (1)设直线的斜率分别为k和，求的值； (2)P为与的交点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围． 12．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线. (1)证明：，的交点在直线上; (2)求直线围成的三角形面积的最小值. 13．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点到定点的距离比到定直线的距离小，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)点为上的两个动点，若恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形的面积为