专题02平面向量基本定理及坐标表示十一个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题02平面向量基本定理及坐标表示 一、平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 二、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标. 三、平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则 . (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 4.平面向量共线的坐标表示 设则 四、平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 【重难点01平面向量基本定理的理解】 例1．判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 例2．设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底； （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【跟踪练习】 练习1．（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，，使，则 练习2．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（    ） A． B． C． D． 练习3．如图所示，设O是平行四边形的两条对角线的交点，给出下列向量组： ①与；  ②与；  ③与；  ④与． 其中可作为该平面内所有向量的基底的是（        ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 练习4．（多选）设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【重难点02用基底表示向量】 例3．在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（ ） A． B． C． D． 例4．在中，，点为与的交点，，则 ． 用基底表示向量的两种方法：（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止；（2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 【跟踪练习】 练习1．设向量是平面内一个基底，且，则向量可以用另一个基底表示，即 . 练习2．若在三角形中，，，则（    ） A． B． C． D． 练习3．在中，，若，线段与交于点，则（    ） A． B． C． D． 练习4．如图，在中，点M是BC的中点，点N在AC上，且，AM与BN相交于点P，求与. 【重难点03利用平面向量基本定理求参数】 例5．如图，在中，，，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 例6．△ABC中，D为AB上一点且满足，若P为线段CD上一点，且满足（，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪练习】 练习1．已知向量是一个基底，实数x，y满足，则 . 练习2．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(是锐角)总成立，则 ． 练习3．在中，点是边上的动点（点异于，），且，若，则的最小值为 . 练习4．在三角形中，点是在边上且边上存在点满足，直线和直线交于点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【重难点04向量加减数乘的坐标运算】 例7．已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 例8．已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知平面内平行四边