2024届湖南高考物理压轴复习训练：数学知识(导数、穷举、归纳、函数)在物理上的应用

数学知识(导数、穷举、归纳、函数)在物理上的应用(压轴) 一、利用求导求极值 1．（19-20高三·全国·课时练习）如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅是多大？共振时摆球的最大速度和摆球振动的最大加速度各为多少？（g取） 2．（23-24高三上·湖北·阶段练习）如图所示，两端分别固定有小球A、B（均视为质点）的轻杆竖直立在水平面上并靠在竖直墙面右侧处于静止状态。由于轻微扰动，A球开始沿水平面向右滑动， B球随之下降，此过程中两球始终在同一竖直平面内。已知轻杆的长度为，两球的质量均为，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则在B球落地前，下列说法正确的是（　　） A．球动能最大时对水平面的压力大小等于 B．当B下落时，球具有最大动能 C．当B下落时，B球具有最大动能 D．竖直墙面对B球的冲量大小为 3．（2022·湖北·高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。 （1）求C的质量； （2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小； （3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。 二、数学穷举法、归纳法 4．（2023·全国·高考真题）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为。一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求 （1）第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小； （2）在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离； （3）圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。 5．（2023·湖北·高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场。t = 0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周。已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响。求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3）时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到的过程中粒子乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 6．（2023·陕西·一模）如图所示，质量的小车放在光滑水平地面上，小车左端是半径的四分之一固定圆弧平台，小车右端不远处是一矗立的石柱。把质量为的小滑块从光滑圆弧轨道顶端由静止释放，小滑块以水平速度滑上小车，小车与右侧石柱碰后原速反弹。滑块与小车之间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取，如果小车与石柱碰撞反弹后过一段时间能停下来，求： （1）小车右端与石柱的距离； （2）若滑块始终未从小车上掉下，小车的最短长度是多少？ （3）若不改变其他条件，让质量为的小滑块从光滑圆弧轨道顶端由静止释放，求小车停下来时运动的总距离。 7．（江苏省盐城市响水中学2021-2022学年高二（上）第一次学情分析考试物理试题）如图所示，倾角θ=30º的固定斜面与水平地面在B点平滑连接。质量M=9.0kg的滑块b静止在水平地面上，滑块与地面之间的动摩擦因数μ=0.2。现将质量m=1.0kg的光滑小球a从斜面上A点由静止释放，A点距水平地面的高度为H=5.0m。已知小球a与滑块b间的碰撞是弹性碰撞，而且每次碰撞时间极短，g取10m/s2。 （1）求小球a由A下滑至B过程所受重力的冲量大小I； （2）求第一次碰后滑块b的速度大小； （3）求第一次碰后到第二次碰前滑块b滑行的距离s1； （4）求小球与滑块发生第n次碰撞后，滑块b滑行的距离sn。 8．（2022·湖南·高考真题）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的倍（为常数且），