奥数新起点（6）第15讲 加法原理和乘法原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第15讲 加法原理和乘法原理 加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决． 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决． 【模块一：知识点拨】 加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 【模块二：精讲精练】 【例1】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？ 【解析】 走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类： ①第二次走点：就是意味着从点出发，我们要先走，，，中间的一点，再经过点，但之后只能走，点，最后选择后面两点． 有种(从到的话，是不能到的)； ②第二次不走：有种(同理，不能到)； 共计：种． 【答案】 【例2】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？ 解析：由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑： 第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法； 第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有种表示法； 第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有种表示法． 根据加法原理，一共可以表示出种不同的信号． 【答案】 【课堂精炼】 1. 如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有多少条？(途中不再回A) 解析：因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数： （1） 第一步与第三步是同一个点的情况有：6×5=30（种） （2） 第一步与第三步不是同一个点的情况有：4×6=24（种） 所以共有30+24=54（种） 【答案】种 2. 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？ 解析：(一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类 第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能； 第二类，两种颜色： 第三类，三种颜色： 所以，根据加法原理，一共可以表示种不同的信号． (二)白棋打头的信号，后两面旗有种情况．所以白棋不打头的信号有种． 【答案】 3. 【例3】直线a，b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？ 解析：画四边形需要在每条线上取2个点， 在线上取2个点共有种， 在线上取2个点共有种， 根据乘法原理，一共可以画出个四边形． 【答案】 【例4】 【课堂精炼】 1. 三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？ 解析：(方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况 ⑴三个顶点在两条直线上， 一共有个 ⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线， 所以一共有：个 根据加法原理，一共可以画出个三角形． (方法二)个点任取三个点有种取法，其中三个点都在第二条直线上有种，都在第三条直线上有种，所以一共可以画出个三角形． 【答案】 2. 直线a，b上