2.5.2 圆与圆的位置关系学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

圆与圆的位置关系 学习目标 1. 理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系. 2. 能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程. 学习活动 复习导入：直线与圆有几种位置关系？如何判断呢？ 目标一：理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系. 任务：探究圆与圆位置关系的判断方法. 回顾：在初中我们学过圆与圆的位置关系，那么圆与圆有几种位置关系？对应的交点个数又是怎样的？ 已知两圆C1：x2＋y2+2x+8y－8＝0，C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C1与圆C2的是什么位置关系？ 问题1：类比直线与圆的位置关系的判断，如何利用代数法（解方程组）判断？ 思考1：画出圆C1、C2以及圆C1、C2相减后得到的直线方程，你有什么发现，并分析原因？ 思考2：设圆C1：，圆C2：，若圆C1、C2相交，则其公共弦所在的直线方程是什么？ 思考3：如果两圆方程联立消元后得到的方程的或，能据此判断圆与圆的具体位置关系吗？ 问题2：除了上述方法之外，还有什么方法可以判断两圆的位置关系？ 思考4：有哪些方法可以判断两圆的位置关系？ 【归纳总结】 目标二：能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程. 任务：探究与圆有关的轨迹方程. 回顾：用坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？ 已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍。试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.与下面问题重复 问题1：将已知条件转化为代数形式，画出平面直角坐标系下该问题的示意图. 问题2：根据问题1的示意图，求出点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系. 思考1：将上述问题中的“倍”改为“k（k>0）倍”，则点M的轨迹又是什么？ 思考2：利用代数法求轨迹方程的基本步骤是什么？ 【归纳总结】 求轨迹方程的基本步骤： 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1.圆与圆的位置关系有哪些？如何判断？ 2.如何求两圆相交的公共弦所在的直线方程？ 3.如何求与圆有关的轨迹方程？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆与圆的位置关系 学习目标 1. 理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系. 2. 能根据已知条件，判断与圆有关的轨迹方程. 学习活动 复习导入：直线与圆有几种位置关系？如何判断呢？ 参考答案：通过两种方法来得出直线与圆的三种位置关系. （1） 通过直线与圆的交点来判断位置关系，即列方程组，判断解的个数. （2） 通过圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判断. 图形 位置关系 相离 相切 相交 判定 d>r d=r d<r 交点个数 0 1 2 解的个数 0 1 2 目标一：理解圆与圆的五种位置关系，能根据给定的圆方程，判断圆与圆的位置关系. 任务：探究圆与圆位置关系的判断方法. 回顾：在初中我们学过圆与圆的位置关系，那么圆与圆有几种位置关系？对应的交点个数又是怎样的？ 参考答案： 位置关系 图形 交点个数 相交 2 相切 内切 1 外切 1 相离 内含 0 外离 0 已知两圆C1：x2＋y2+2x+8y－8＝0，C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C1与圆C2的是什么位置关系？ 问题1：类比直线与圆的位置关系的判断，如何利用代数法（解方程组）判断？ 参考答案：联立两圆的方程，得 两式相减消掉x2和y2,得， 移项得出y与x的关系式，即， 将这个关系式在带入两圆中的一个圆的方程，得， 利用方程根的判别式即， 所以这个方程组有两组不同的实数解，所以这两个圆有两个交点，所以这两个圆相交. 思考1：画出圆C1、C2以及圆C1、C2相减后得到的直线方程，你有什么发现，并分析原因？ 参考答案：发现：直线方程经过C1、C2的交点；原因：根据曲线与方程的关系知，圆C1、C2的交点分别满足两圆的方程，而直线方程是由原方程相减得到的，根据等式的性质可知，直线方程经过C1、C2的交点. 思考2：设圆C1：，圆C2：，若圆C1、C2相交，则其公共弦所在的直线方程是什么？ 参考答案：. 思考3：如果两圆方程联立消元后得到的方程的或，能据此判断圆与圆的具体位置关系吗？ 参考答案：不能，因为或只能判断两圆有一个交点或没有交点，而圆与圆有一个交点时有两种位置关系即内切、外切，无交点时也有两种位置关系即内含、外离，故不可以判断.若要判断具体位置关系还需要判断圆心距与两圆半径和差的关系. 问题2：除了上述方法之外，还有什么方法可以判断两圆的位置关系？ 参考答案：将两个圆的方程化成标准方程， 即，. 所以圆C1的圆心坐标为A（-1，-4），半径r1=5，圆C2的圆心坐标为B（2,2