第3章　圆锥曲线的方程 单元测试-【优鸿】高中选择性必修第一册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的⽅程 第三章 单元测试 1. 已知方程   表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（     ）. A. B. C. D. 2. 已知 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （      ）. A. B. C. D. 3. 过抛物线 的焦点F，有一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长 分别是p、q，则  等于（    ） A. B. C. D. 4. 过双曲线 的右顶点A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的 两条渐近线的交点分别为B，C．若 ，则双曲线的离心率是（    ）. A. B. C. D. 5. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角 .则离心率e的 取值范围是（　　）． A. B. C. D. 6. 已知F是抛物线 的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是 （　　）． A. B. C. D. 7.  设抛物线  的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， ，A为垂足，如果 直线AF的倾斜角等于  ，那么 等于(    ). A. B. C. D. 8. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则E的离心率为(      ). A. B. C. D. 9. 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点 坐标分别为 ， 则双曲线的标准方程是________. 10. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆 相交的公共弦长等于 ，则该抛物线的方程是________. 11. 一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程 为__________. 12. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b ,原点O为AD的中点，抛物 线   经过C、F两点，则 __________. 13. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ，若直线 与椭圆 的一个交点M满足 ，则该椭圆的离心率等 于________. 14. 点P在椭圆 上运动， 分别在两圆 和 上运动，则 的最小值为________. 15. 已知双曲线 的实轴为 ，右焦点 ， 为双曲线上一点（不同于 ， ），直线 ， 分别交直线 于 ， 两点.证明 为定值. 16. 设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线   与 交于 两点，点 的坐标 为 . (1)当 与x轴垂直时，求直线 的方程； (2)设 为坐标原点，证明： . 17. 已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线l与C交于A、B两点，点P满足 (1)证明：点P在C上； (2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 18. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为 圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线 对称. (1)求双曲线C的方程； (2)若Q是双曲线C上的任意一点， 为双曲线C的左、右焦点，从 引 的平 分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程. 19. 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆上且 位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， . (1)求直线 的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值 范围. 20. 已知点 ， 与直线 相切，动圆M与 及y轴都相切. (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向 引一条切线，切点分别 为P，Q，记 ，求证： 是定值. 参考答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 9 10 11 12 13 14 2 15 由 ，可知 ， ∴ ， . 由题意画图，如图， 设 ， ，显然有 . ⼜ ， ， 于是直线 ： ， 同理可得直线 ： . ∵直线 、 分别与直线 交于点 、 ， ∴令 ，可得 ， . ∵ ， ∴ ， . ∴ . ∵ ，即 . ∴ . 因此 为定值. 16 （1） 或 （2）当直线 与 轴重合时，即直线 的斜率为 ， 由直线 与椭圆相交于 ， 所以 都在 轴上. ∵ ， ∴ .
当直线 与 轴垂直时，即直线 的斜率不存在， ∵ ，直线 过点 ， ∴
⼜∵直线 与 交于 两点， ∴
为 的垂直平分线， ∴
. 当直线 与 轴不重合也不垂直时，即直线 的斜率存在且不为0， 画出⽰意图， 由 ，将证明 转化成证明 . 设 ， ∵ ， ∴ ， 当直线 与 轴不重合也不垂直时，可设直线 的斜率为 ，