第6章 专题一 特殊平行四边形的性质和判定综合题(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(青岛版)

年级下册·QD 数 学 第6章　平行四边形 专题一　特殊平行四边形的性质和判定综合题 类型1　矩形的性质与判定综合题 1. 如图所示，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F ， M ， N 分别 为 OA ， OB ， OC ， OD 的中点，连接 EF ， FM ， MN ， NE . （1）依题意，补全图形. 思路分析：（1）根据题目要求画出图形即可. 解：（1）如图所示. （2）求证：四边形 EFMN 是矩形. 思路分析：（2）根据三角形中位线定理可得 EF ∥ AB ， EF ＝ AB ， NM ∥ CD ， MN ＝ DC ， 再由矩形的性质可得 AB ∥ DC ， AB ＝ DC ， AC ＝ BD ， 进而可得四边形 EFMN 是矩形. 解： （2）证明：∵点 E ， F 分别为 OA ， OB 的中点， ∴ EF ∥ AB ， EF ＝ AB . 同理： NM ∥ CD ， MN ＝ DC ， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ DC ， AB ＝ DC ， AC ＝ BD ， ∴ EF ∥ MN ， EF ＝ MN ，∴四边形 EFMN 是平行四边形. 同理可证 FN ＝ BD ，∴ EM ＝ FN ， ∴四边形 EFMN 是矩形. ∵点 E ， F ， M ， N 分别为 OA ， OB ， OC ， OD 的中点， ∴ EO ＝ AO ， MO ＝ CO . 在矩形 ABCD 中， AO ＝ CO ＝ AC ， BO ＝ DO ＝ BD ， ∴ EM ＝ EO ＋ MO ＝ AC . （3）连接 DM ，若 DM ⊥ AC 于点 M ，求 T （2）中四边形 EFMN 中 ∠ NFM 的度数. 思路分析：（3）根据条件可得 DM 垂直平分 OC ，进而可得 DO ＝ CD ，然后证明△ COD 是等边三角形，进而得出答案. 解： （3）∵ DM ⊥ AC 于点 M ， MO ＝ CM ，∴ DO ＝ CD . 在矩形 ABCD 中， AO ＝ CO ＝ AC ， BO ＝ DO ＝ BD ， AC ＝ BD ， ∴ AO ＝ BO ＝ CO ＝ DO ，∴△ COD 是等边三角形， ∴∠ ODC ＝60°. ∵ MN ∥ DC ，∴∠ FNM ＝∠ ODC ＝60°， 在矩形 EFMN 中，∠ FMN ＝90°. ∴∠ NFM ＝90°－∠ FNM ＝30°. 类型2　菱形的性质与判定综合题 2. 运算能力如图所示，在平行四边形 ABCD 中， BD 平分∠ ABC . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形. 思路分析：（1）由平行线的性质和角平分线的定义得 ∠ BDC ＝∠ DBC ，则 BC ＝ CD ，然后由菱形的判定即 可得出结论. 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC . ∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ DBC ， ∴∠ BDC ＝∠ DBC ，∴ BC ＝ CD ， ∴▱ ABCD 是菱形. 思路分析：（2）由菱形的性质，得 BO ＝ DO ，∠ DCA ＝ ∠ BCA ＝ ∠ BCD ， AC ⊥ BD ， AB ∥ CD ，再证∠ DCA ＝∠ DCM ，然后由角平分线的性质得 DO ＝ DF ＝3，即可 得出结论. （2）连接 AC 交 BD 于点 O ，延长 BC 到点 E ，在∠ DCE 的内部作射线 CM ， 使得∠ ECM ＝15°，过点 D 作 DF ⊥ CM 于点 F . 若∠ ABC ＝70°， DF ＝3，求 ∠ ACD 的度数及 BD 的长. AC ⊥ BD ， AB ∥ CD ， ∴∠ BCD ＝180°－∠ ABC ＝180°－70°＝110°， ∠ DCE ＝∠ ABC ＝70°， ∴∠ DCA ＝ ∠ BCD ＝55°.∵∠ ECM ＝15°， ∴∠ DCM ＝∠ DCE －∠ ECM ＝70°－15°＝55°， ∴∠ DCA ＝∠ DCM . ∵ DF ⊥ CM ， BD ⊥ AC ， ∴ DO ＝ DF ＝3，∴ BD ＝2 DO ＝6. 解： （2）由（1）可知，四边形 ABCD 是菱形， ∴ BO ＝ DO ，∠ DCA ＝∠ BCA ＝ ∠ BCD ， 类型3　正方形的性质与判定综合题 3. 如图所示，四边形 ABCD 为正方形， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 上的动点，且 AE ＝ BF ＝ CG ＝ DH . （1）求证：四边形 EFGH 是正方形. 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝∠