（2024年高考数学专题）椭圆知识精讲+大题特训

（2024年高考数学专题）椭圆知识精讲+大题特训 知识精讲 1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 a，b，c的关系 离心率： 3．重要推论： 已知椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，左右焦点分别为，若 如图：则 推论一：，， 推论二：（大题中经常运用，可利用下面证明方法） 推论三：，其中 大题特训 1．已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积． （1）求的标准方程； （2）过点作直线与交于另一点，求直线的斜率． 2．已知椭圆的右焦点为是上的点，直线的斜率为． （1）求的方程； （2）过点作两条相互垂直的直线分别交于两点和两点，的中点分别记为，且为垂足．试判断是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线与x轴不重合交C于M，N两点，且当M为C的上顶点时，的周长为8，面积为 （1）求C的方程； （2）若A是C的右顶点，设直线l，AM，AN的斜率分别为k，，，求证：为定值. 4．在平面直角坐标系中，，是椭圆：的左、右焦点，是C的左顶点，过点A且斜率为的直线交直线上一点M，已知为等腰三角形，. （1）求C的方程； （2）在直线上任取一点，直线：与直线交于点Q，与椭圆C交于D，E两点，若对任意，恒成立，求m的值. 5．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由． 6．已知椭圆的离心率，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的动直线与椭圆交于两点，点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标. 7．已知椭圆：（）的离心率，点、之间的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和，则是否存在常数，使得与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由. 8．已知椭圆：的离心率为，焦距为2. （1）求籿圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于，两点，且. ①求证：的面积为定值； ②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由. 9．已知椭圆的离心率为，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，记直线的斜率分别为，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由． 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，且四边形的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知点，直线与椭圆C交于两点，与y轴交于点N，若，求面积的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】（1）解：依题意可得． ． 将点的坐标代入的方程，得，解得． 所以的标准方程为． （2）解：依题意得直线存在斜率，设． 代入的方程得，即， 则， 解得， ， 解得，即． 2．【答案】（1）解：依题意得解得 所以的方程为． （2）解：存在点，使得为定值． 当均不与轴垂直时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立 消去整理可得． 设， 则， 设，则，， 所以． 同理得点的坐标为， 则直线的斜率， 所以直线的方程为， 令，解得， 所以直线经过定点； 当时，直线的方程为，也经过定点． 当与轴垂直或重合时，直线的方程为0，经过定点． 综上，直线经过定点． 记定点的中点记为， 则． 因为，所以为定值， 所以存在点，使得为定值． 3．【答案】（1）解：由题意得，解得，所以椭圆， 当M为C的上顶点时，直线l为：， 联立椭圆方程，解得，，舍去， 又的面积为，所以，即， 所以，解得或，于是或， 因为，所以，所以椭圆C的方程为； （2）证明：椭圆C的右焦点为，直线l的方程为， 联立方程组，消y得， 设，，则，， 所以 ， 所以 故为定值. 4．【答案】（1）解：依题意，，， 过作轴，由几何关系知， 所以 因为， 化简得，得椭圆. （2）解：①当时，恒成立； 当时，由题意知直线OP的方程为， 联立方程组，解得，即点的横坐标为， 再联立方程组，整理得， 设，，则且， 因为点是的中点，可得，即， 该式对任意且恒成立，所以， 综上可得，实数的值为. 5．【答案】（1）解：由题意得解得 所以椭圆C的方程为． （2）解：存在最大值，当取最大值时， 直线AM的方程为