第18章 专题三 勾股定理在几何计算中的应用(习题课件)-【优+学案】2023-2024学年八年级下册数学课时通(沪科版)

年级下册·I 数 学 第18章　勾股定理 专题三　勾股定理在几何计算中的应用 建立方程模型结合勾股定理求线段的长度 1. 如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB 于点 D ， CE 平分∠ ACD 交 AB 于点 E ，若 AC ＝2， AE ＝1，求 BC 的长. 解：∵∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ， ∴∠ ACD ＋∠ BCD ＝90°，∠ ACD ＋∠ A ＝90°， ∴∠ BCD ＝∠ A . ∵ CE 平分∠ ACD ， ∴∠ ACE ＝∠ DCE . 又∵∠ BEC ＝∠ A ＋∠ ACE ，∠ BCE ＝∠ BCD ＋∠ DCE ， ∴∠ BEC ＝∠ BCE ，∴ BC ＝ BE . 设 BC ＝ BE ＝ x ，则 AB ＝1＋ x . ∵ AC 2＋ BC 2＝ AB 2，∴22＋ x 2＝（1＋ x ）2， 解得 x ＝1.5，即 BC 的长为1.5. 利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 2. 如果 a ， b ， c 是直角三角形的三边长，那么以2 a ，2 b ，2 c 为边长的三角形是 （　A　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 3. 已知△ ABC 的三边为 a ， b ， c ，且 a ＋ b ＝7， ab ＝12， c ＝5，试判定△ ABC 的形状. 解： a 2＋ b 2＝（ a ＋ b ）2－2 ab ＝72－2×12＝25， c 2＝25，∴ a 2＋ b 2＝ c 2， ∴△ ABC 是直角三角形. A 构造直角三角形结合勾股定理解决实际问题 4. 如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点 A 出发，沿北偏西30°的方向 走了500 m到达点 B ，然后再沿南偏西60°方向走了500 m到达目的地点 C ，则 点 A 与点 C 之间的距离为（　C　） A. 600 m B. 800 m C. 1 000 m D. 1 200 m C 5. 如图所示，永定路一侧有 A ， B 两个送奶站， C 为永定路上一供奶站， CA 和 CB 为供奶路线，现已测得 AC ＝8 km， BC ＝15 km， AC ⊥ BC ，∠1＝30°. （1）连接 AB ，求两个送奶站之间的距离. 解：（1）∵ AC ＝8 km， BC ＝15 km， AC ⊥ BC ， ∴ AC 2＋ BC 2＝ AB 2， ∴ AB ＝ ＝ ＝17（km）. ∴两个送奶站之间的距离 AB 为17 km. （2）有一人从点 C 处出发沿永定路边向右行走，速度为2.5 km/h，多长时间后这 个人距 B 送奶站最近？并求出最近距离. 解：（2）如图所示，过 B 作永定路的垂线，垂足为 D . ∵△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°，∠1＝30°， ∴∠ BCD ＝180°－90°－30°＝60°.在Rt△ BCD 中，∵∠ BCD ＝60°，∴∠ CBD ＝30°， ∴ CD ＝ BC ＝ ×15＝7.5（km）. ∵7.5÷2.5＝3（h），∴3 h后这个人距 B 送奶站最近，最 近距离为 ＝ （km）. 利用勾股定理解决最短距离问题 6. （合肥蜀山区期中）我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二 丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”大意为：有一根 木头高2丈，上、下底面的周长为3尺，葛藤生长在木头下的一个地方，绕木头7 周，葛梢与木头上端刚好齐平（如图所示），则葛藤长 尺.（注：1丈等于 10尺，葛缠木以最短的路径向上长，误差忽略不计） 29　 7. 一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点 A 处，一只苍 蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表 面向上爬. （1）如果 D 是棱的中点，蜘蛛沿“ AD → DB ”路线爬行，它从 A 点爬到 B 点所 走的路程为多少？ 解：（1）从点 A 爬到点 B 所走的路程为 AD ＋ BD ＝ ＋ ＝（5＋ ）cm. （2）你认为“ AD → DB ”是最短路线吗？如果你认为不是，请计算出最短 的路程. 解：（2）不是，分三种情况讨论： ①如图①所示，将下面和右面展到一个平面内， AB ＝ ＝ ＝2 （cm）；②如图②所示，将前面 与右面展到一个平面内， AB ＝ ＝ ＝6 （cm）；③如图③所示，将前面与上面展到一个平面内， AB ＝ ＝4 （cm）. ∵6 ＜4 ＜2 ，∴蜘蛛从 A