7.3.2离散型随机变量的方差学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学选择性必修第三册导学案 第七章 随机变量及其分布 7.3.2　离散型随机变量的方差 【教学目标】 1． 理解离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2． 掌握离散型随机变量的方差的性质． 3． 会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题． 【自主学习】 1．方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 注意点： (1)一般地，随机变量的方差是非负常数． (2)D(X)＝(xi－E(X))2pi＝xpi－(E(X))2. (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p) .(其中p为成功概率) 2．已知两个离散型随机变量X,Y满足Y=aX+b，则D＝a2D. 【课内探究】 例1. (多选)下列说法正确的是(　　) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小 例2. (1)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b 若E(X)＝0，则D(X)等于(　　) A．0 B. C. D．1 (2)有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则D(X)＝________. X －1 0 1 P a 例3. 已知X的分布列如表所示： (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 例4. 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)． 例5. 某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)： 工种类别 A B C 赔付频率 已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元． (1)求保险公司在该业务中所获利润的均值； (2)现有如下两个方案供企业选择： 方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支． 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议． 【课后检测】 1．　(多选)下列说法中错误的是(　　) A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 2.设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 3.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)等于(　　) A．1 B．0.6 C